Enunciado

Uma partícula de massa m é lançada do ponto A com uma velocidade inicial v0 perpendicular à linha OA e se move sob a ação da força central F dirigida para fora do centro de força O. Sabendo que a partícula segue uma trajetória definida pela equação r=r0/cos 2 θ e usando a Eq. (12.27), expresse os componentes radiais e transversais da velocidade v da partícula em função do ângulo θ .

Passo 1

O enunciado pede que a gente expresse os componentes radiais e transversais da velocidade v da partícula em função do ângulo θ

Nós temos

r = r θ c o s 2 θ

Então

r = 2 r θ s e n 2 θ c o s ² 2 θ θ ˙

Agora

v = r e r + r θ ˙ e θ

Para que em t=0,

v 0 = r 0 θ 0 ˙

Passo 2

Da Eq. (12.27):

r 2 θ ˙ = r 0 ² θ 0 = ˙ r 0 v 0

θ ˙ = r 0 v 0 r ² = r 0 v 0 c o s 2 θ r 0 2 = v 0 r 0 c o s ² 2 θ

Então

r ˙ = 2 r 0 s e n 2 θ c o s ² 2 θ v 0 r 0 c o s ² 2 θ = 2 v 0 s e n 2 θ

Agora

v r = r ˙

Ou

v r = r 2 v 0 s e n 2 θ   ˙

e

v θ = r θ ˙ =   r θ c o s 2 θ = v 0 r 0 c o s ² 2 θ

v θ = v 0 c o s 2 θ  

Resposta

v r = r 2 v 0 s e n 2 θ ˙

v θ = v 0 c o s 2 θ

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