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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 73

Uma partícula de massa m é lançada do ponto A com uma velocidade inicial v0 perpendicular à linha OA e se movimenta sob a ação de uma força central F ao longo de uma trajetória semicircular de diâmetro OA. Observando que r = r0 e usando a Eq. (12.27), mostre que a velocidade escalar da partícula é v =v0 / c o s 2 θ .

Passo 1

Fazendo o somatório das forças temos que:

F r =   - k r - l o

∑ F r = m . a r :   - k r - l o = m   ( r - r θ 2 ) ¨

r ¨ = ( θ 2 ¨ -   k m ) r + k l 0 m

Passo 2

Agora galera temos que integrar usando a condição r ˙ =   r 0 ˙ quando r = r 0

r ¨ =   d d t r ˙ = d r ˙ d r   d r d t = r ˙ d r ˙ d r

r d r = r d r =   ( θ 2 - k m ) r + k l 0 m d r

Passo 3

Integrar usando a condição r ˙ =   r 0 ˙ quando r = r 0

1 2 r ˙ 2 | r ˙ 0 r ˙ = 1 2 θ ˙ 2 - k m r 2 + k l 0 m r | r 0 r

1 2 r ˙ 2 - 1 2 r ˙ 0 2 = 1 2 θ ˙ 2 - k m r 2 - r 0 2 + k l 0 m r - r 0

r ˙ 2 = r ˙ 0 2 + θ ˙ 2 - k m r 2 - r 0 2 + 2 k l 0 m r - r 0

Passo 4

Dados:

m = W g = 230   g 9,8   m / s ² = 0,023 k g s 2 / m  

θ = 10 r a d s ,     k = 36 N m ,     l 0 = - 5,08   c m

r ˙ = ( v r ) 0 = 0 ,   r 0 = 45   c m   ,   r = 30   c m

Passo 5

  1. Componentes da velocidade quando r= 12 in

r ˙ 2 = 0 + 10 2 - 2.5 0.01553 1.0 2 - 1.5 2 + ( 2 ) ( 2.5 ) - 1 6 0.01553 ( 1.0 - 1.5 ) = 4.342   m / s ²

v r = r =   ± 11,13903792   K m / h

Uma vez que r está diminuindo, vr é negativo:

                            r ˙ =   11,13903792

Passo 6

  1. Componentes da aceleração

    2. F r = - k r + k l 0 = - 132297,9258   K g

    a r =   F r m = - 57,24   m / s ²

          a θ = r θ ^ + 2 r ˙ θ ˙ = - 61,87   m / s ²

  2. Componente transversal da força

F 0 =   m a 0 = - 1,42   K g m / s ²

Resposta

  1. ± 11,13903792 K m h
  2. - 61,87   m / s ²
  3. - 1,42   K g m / s ²
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