Uma partícula move-se ao longo de uma trajetória circular de raio 300 mm. Se sua velocidade angular é θ ˙ = 2 t 2 rad/s, onde t é dado em segundo, determine a intensidade da aceleração da partícula quando t = 2 s.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:

Trajetória circular;

Raio da trajetória: r = 300   mm;

Velocidade angular: θ ˙ = 2 t 2   r a d / s .

Devemos determinar a intensidade da aceleração angular quando t = 2 s.

Analisando as informações dadas, vemos que r é constante, logo sua derivada temporal será

d r d t = 0

Além disso, a questão deve ser resolvida utilizando coordenadas polares pois se trata de uma trajetória circular.

Passo 2

Sabemos que, por definição, a aceleração em coordenadas polares é composta por uma componente radial e uma componente transversal, conforme exibido abaixo:

a = a r 2 + a θ 2

Onde

a r = r ¨ - r θ ˙ 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

Portanto, para descobrirmos o valor de a , precisamos saber os valores de r , r ˙ ,   r ¨ , θ ˙ e θ ¨ .

Já sabemos os valores de r e θ ˙ . Vamos descobrir os dados restantes:

Sabemos que r é constante, logo, suas derivadas temporais são

d r d t = r ˙ = 0

d 2 r d t 2 = r ¨ = 0

Sabemos que θ ˙ = 2 t 2 , portanto sua derivada temporal é

d θ ˙ d t = θ ¨ = 4 t

Para t = 2 s, temos

r = 0,3   m

r ˙ = 0

r ¨ = 0

θ ˙ = 2 t 2 = 8   r a d / s

θ ¨ = 4 t = 8   r a d / s 2

a r = r ¨ - r θ ˙ 2 = 0 - 0,3 8 2 = - 19,2   m / s 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ = 0,3 8 + 0 = 2,4   m / s 2

Substituindo esses valores na fórmula da aceleração, obtemos

a = a r 2 + a θ 2

a = - 19,2 2   + 2,4 2

a = 19,3   m / s 2

Resposta

a = 19,3   m / s 2

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