Um tubo vazado gira em torno do eixo horizontl que passa pelo ponto O com uma velocidade angular constante ω 0 . Uma partícula de massa m é introduzida com velocidade relativa nula em r = 0 quando θ = 0 e desliza para fora através do tubo liso. Determine r como uma função de θ .

A função é r ( θ ) = g 2 ω 0 2 ( senh ⁡ θ - sen ⁡ θ ) .

Enunciado

Como estamos interessados no valor de , vamos começar analisando as forças na direção radial:

A única força que age nessa direção é:

Então ficamos com uma equação diferencial ordinária linear não-homogêna de segundo grau.

Você deve se lembrar de que a melhor forma de encontrar uma solução nesse caso é chutar alguma coisa desse tipo:

E vamos substituir isso na equação homogênea (em que simplesmente desconsideramos a constante)

E então:

E agora precisamos buscar a solução não-homogênea:

E aqui não tem jeito, você precisa usar sua experiência e intuição, um bom palpite é:

Supondo que podemos encontrar a constante :

E agora temos que somar a solução particular e a homogênear para encontrar a solução geral:

E agora precisamos achar as constantes usando as condições iniciais:

E isso é um sistema que pode ser resolvido para encontrar e . Da primeira equação podemos obter:

E substituindo na segunda:

E então nossa solução é:

Mas , então:

E temos que lembrar da definição do seno hiperbólico:

Então:

Resolvido!

A função é .