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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 84

Os períodos (ver Problema 12.83) das luas do planeta Urano, Julieta e Titânia, foram observados como sendo de 0,4931 dias e 8,706 dias, respectivamente. Sabendo que o raio da órbita de Julieta é 64.360 km, determine (a) a massa de Urano, (b) o raio da órbita de Titânia.

Passo 1

Velocidade de Julieta

V J = 2 π r J τ J

Onde

r J = 64,360   k m = 64.36 x 10 6   m

e τ J = 0.4931   d i a s = 42,604   s

V J = ( 2 π ) ( 64.36 x 10 6 ) 4 2,604 = 9.4917 x 10 3   m / s

Força Gravitacional.

  F =     G M m   r 2 = m v 2 r

De onde

GM = rv² = constante

Passo 2

  1. Massa de Urano

    2. M = r J v J 2 G

    M = ( 64.36 x 10 6 ) ( 9.4917 x 10 3 ) ² 66.73 x 10 - 12

    = 86.893 x 10 24 k g

    M =   86 . 9 x 10 24 k g   ◄

    Passo 3

  2. Rio da órbita de Titânia.

G M = r T v J 2 = 4 π 2 r T 3 τ T 2 = 4 π 2 r J 3 τ J 2

r T 3 = r J 3 τ T τ J 2 = ( 64.36 x 10 6 ) 3 8.706 0.4931 2 = 81.103 x 10 24 m 3

r T = 436.39 x 10 6 m

r T = 436,000   k m   ◄

Resposta

a ) M =   86.9 x 10 24 k g  

b )   r T = 436,000   k m

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