A placa quadrada de peso 320   N mostrada na figura é sustentada por três arames verticais. Determine o peso e a localização dos blocos mais leves que poderiam ser colocados na placa se a tração nos três arames for igual.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Para resolver este problema, vamos fazer análises com vetores nas três dimensões para facilitar a organização.

Considerando um momento sobre a origem, temos:

↺ ∑ M O = 0

r A × T j + r B × T j + r C × T j + r G × - W j + x i + z k × - W b j = 0

Sabendo que:

r A = 1875 k : Vetor posição do ponto A .

r B = 375 k : Vetor posição do ponto B .

r C = 1500 i + 750 k : Vetor posição do ponto C .

r G = 750 i + 1125 k : Vetor posição do centroide G .

E x i + z k e W p a posição e o peso do bloco de menor peso da situação.

Passo 2

Substituindo os vetores, temos que:

1875 k × T j + 375 k × T j + 1500 i + 750 k × T j + 750 i + 1125 k × - W j + x i + z k × - W p j = 0

Resolvendo, teremos que:

- 1875 T i - 375 T i + 1500 T k - 750 T i - 750 W k + 1125 W i - x W p k + z W p i = 0

- 3000 T i + 1500 T k - 750 W k + 1125 W i - x W p k + z W p i = 0

Agora é só igualar os coeficientes correspondentes. Temos que:

1500 T k - 750 W k - x W p k = 0

Igualando os coeficientes de i , temos que:

- 3000 T i + 1125 W i + z W p i = 0

Fazendo o somatório de forças em y , temos:

↑ + ∑ F y = 0

3 T - W - W p = 0

Passo 3

Podemos observar que temos três equações e três incógnitas, portanto podemos encontrar os valores desconhecidos rearranjando as equações.

Multiplicando a terceira equação por 1000 e somando com a segunda, temos que:

3000 T - 1000 W - 1000 W p + - 3000 T + 1125 W + z W p = 0

125 W + z - 1000 W p = 0

Vamos multiplicar também a terceira equação por - 500 e somar com a primeira, para obter:

- 1500 T + 500 W + 500 W p + 1500 T - 750 W - x W p = 0

- 250 W + 500 - x W p = 0

Passo 4

Agora vamos analisar a relação W p / W   de cada equação encontrada:

W p W = 125 1000 - z

E:

W p W = 250 500 - x

Como o bloco mais leve deve ser colocado na placa, temos que a seguinte condição deve ser respeitada:

0 ≤ x ≤ 1500

0 ≤ z ≤ 2250

Então pensa comigo, se x e z forem iguais a zero, a relação W b / W é mínima.

Logo:

W p W = 125 1000 - 0 = 0,125

E:

W p W = 250 500 - 0 = 0,5

Passo 5

Portanto, teremos que:

W p m í n = 0,5 W

Como W = 320   N , temos que:

W p m í n = 0,5 320

W 𝑝𝑚í𝑛=160 N

Logo:

0,5 = 125 1000 - z

z = 750   m m

Logo, as coordenadas serão:

P 0 ,   750   m m

Resposta

W p m í n = 160   N

P 0 ,   750   m m

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