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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 242

Na posição mostrada, a haste fina se move a uma velocidade constante u = 3 in./s para fora do tubo BC. Ao mesmo tempo, o tubo BC gira a uma taxa constante ω 2 = 1.5 r a d / s em relação ao braço CD. Sabendo que toda a montagem gira em torno do eixo X a uma taxa constante ω 1 = 1.2 r a d / s , determine a velocidade e aceleração da extremidade A da haste.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a velocidade e aceleração da extremidade A da haste.

r A = ( 6   i n .   ) i + ( 9   i n .   ) k

Passo 2

Método 1

Deixe o corpo rígido DCB estar em um quadro de rotação de referência

Sua velocidade angular é

Ω = ω 1 i + ω 2 k = ( 1.2 r a d / s ) i + ( 1.5 r a d / s ) k

Sua aceleração angular é α = ω 1 i × ω 2 k

Passo 3

Movimento coincidente do ponto A no quadro

v A ' = Ω × r A

= ( 1.2 i + 1.5 k ) × ( 6 i + 9 k )   = - 10.8 j + 9 j   = - ( 1.8 i n / s ) j  

a A ' = α × x A + Ω × v A '

= ( - 1.8 j ) × ( 6 i + 9 k ) + ( 1.2 i + 1.5 k ) × ( - 1.8 j )   = 10.8 k - 16.2 i - 21.6 k + 2.7 i   = - 13.5 i n / s 2 i + 8.64 i n / s 2 k  

Passo 4

Movimento do ponto A relativo ao quadro

V A / F = u i = ( 3   i n   / s ) i

a A / F = 0

Velocidade do ponto A

v A = v A ' + v A / F

v A = ( 3.00   i n .   / s ) i ˙ - ( 1.800 i n / s ) j = ( 3   i n   / s ) i

Passo 5

Aceleração coriolis

2 Ω × v A f f   2 Ω × v i j r = ( 2 ) ( 1.2 i + 1.5 k ) × 3 i   = 9   i n   / s 2 j

Aceleração no ponto A

a A = a A ' + a A / F + 2 Ω × y A / F

a A = - 13.50 i n / s 2 i + 9.00 i n / s 2 j + 8.64 i n ⁡ / s 2 k

Passo 6

Método 2

Deixe o quadro Dxyz, que. no instante mostrado coincide com DXYZ, gire com uma velocidade angular Ω = ω 1 i = 1.2 i r a d / s . Então, o movimento relativo ao quadro consiste na rotação do corpo .DCB em torno do eixo Z com velocidade angular ω 2 k = ( 1.5 r a d / s ) k mais o movimento de deslizamento u = u i = ( 3   i n   / s ) i da haste AB em relação ao corpo DCB.

Movimento do Ponto A 'coincidente no quadro.

v A ' = Ω × r A

= 1.2 i × ( 6 i + 9 k )   = - ( 10.8 i n . / s ) j  

a A ' = Ω × v A '

= 1.2 i × ( - 10.8 j )   = - 12.96   i n   / s 2 k  

Movimento A relativo ao quadro

v A / F = ω 2 k × r A + u i

= 1.5 k × ( 6 i + 9 k ) + 3 i   = ( 9 i n / s ) + ( 3 i n / s ) i  

a A / F = α 2 k × r A + a 2 k × ω 2 k × r A + i i + 2 ω 2 j × ( u i )

= 0 + 1.5 k × 9 j + 0 + ( 2 ) ( 1.5 k ) × ( 3 i )   = 9 i n / s 2 j - 13.5 i n / s 2 i  

Velocidade do ponto A

v A = v A ' + v A / F   v A = - 10.8 j + 9 j + 3 i  

v A = ( 3.00   i n   / s ) i - ( 1.800   i n .   / s ) j

Aceleração coriolis

2 Ω × v A / F   2 Ω × v A / F = ( 2 ) ( 1,2 i ) × ( 9 j + 3 i )  

= 21.6 i n / s 2 k

Aceleração no ponto A

a A = a A ' + a A l ' + 2 Ω × v A l   a A = - 12.96 k + 9 j - 13.5 i + 21.6 k  

a A = - 13.50 i n / s 2 i + 9.00 i n . s 2 j + 8.64 i n ⁡ / s 2 k

Resposta

v A = ( 3.00 i n / s ) i - ( 1.800 i n / s ) j

a A = - 13.50 i n / s 2 i + 9.00 i n / s 2 j + 8.64 i n / s 2 k

v A = ( 3.00   i n   / s ) i - ( 1.800   i n .   / s ) j

a A = - 13.50 i n / s 2 i + 9.00 i n / s 2 j + 8.64 i n ⁡ / s 2 k

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