A posição de uma partícula é definida por r = 5 cos ⁡ 2 t i + 4   s e n   2 t   j m , onde t é dado em segundos e os argumentos para o seno e o cosseno são dados em radianos. Determine as intensidades da velocidade e da aceleração da partícula quando t = 1 s . Também, prove que a trajetória da partícula é elíptica.

Passo 1

Encontramos a velocidade derivando a equação da trajetória dada no enunciado:

v = d r d x = d d x 5 cos ⁡ 2 t i + 4   s e n   2 t   j

v = - 10   s e n   2 t   i + 8 cos ⁡ 2 t j m s

Passo 2

Calculamos a velocidade para o instante em que t = 1 s :

v = - 10   s e n   2 ( 1 )   i + 8 cos ⁡ 2 ( 1 ) j m / s

v = - 9.093 i - 3.329 j   m / s

Assim, podemos calcular a magnitude da velocidade da pparticula:

v = v x 2 + v y 2 = ( - 9.093 ) 2 + - 3.329 2 = 9.68   m / s

Passo 3

Podemos derivar a equação da velocidade para encontrar a aceleração:

a = d v d x = d d x - 10   s e n   2 t   i + 8 cos ⁡ 2 t   j m / s

a = - 20 cos ⁡ 2 t   i - 16 s e n   2 t   j m / s 2

Passo 4

Calculamos a acelaração no instante t = 1 s usando a equação encontrada ao final do passo 3:

a = - 20 cos ⁡ 2 ( 1 )   i - 16 s e n   2 ( 1 ) j = 8.323 i - 14.549 j m / s 2

Assim, podemos calcular a magnitude da aceleração da partícula:

a = a x 2 + a y 2 = 8.323 2 + ( - 14.549 ) 2 = 16.8   m / s 2

Passo 5

Para o cálculo da trajetória elíptica, vamos considerar x = cos ⁡ 2 t e y = 4   s e n   2 t

Vamos elevar as equações ao quadrado:

x 2 25 = c o s 2 2 t

y 2 16 = s e n 2 2 t

Passo 6

Adicionamos as duas equações encontradas no passo 5:

x 2 25 + y 2 16 = c o s 2 2 t + s e n 2 2 t

Note que c o s 2 2 t + s e n 2 2 t = 1 . Portanto:

x 2 25 + y 2 16 = 1

Resposta

A magnitude da velocidade da partícula em t = 1 s é v = 9.68   m / s  

A magnitude da aceleração da partícula em t = 2 s é a =   16.8   m / s 2

A equação x 2 25 + y 2 16 = 1   representa a equação de uma elipse.

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