A prancha de skate de 5 kg desce pela inclinação de 5° com velocidade constante. Se o coeficiente de atrito cinético entre os eixos com 12,5 mm de diâmetro e as rodas é μ k = 0,3 , determine o raio das rodas. Desconsidere a resistência ao rolamento das rodas sobre a superfície. O centro de massa para a prancha de skate está em G .

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Nesta questão temos um skate que está descendo em velocidade constante (força de atrito está igualando a componente horizontal da força peso).

Continuando, o objetivo desta questão consiste em determinar qual o raio das rodinhas do skate.

Para que a gente consiga determinar este valor, vamos ter que analisar as rodinhas, que funcionam como o caso de um mancal radial de deslizamento. Mas, antes disto, vamos ter que determinar a força normal e de atrito nessas rodinhas.

Então, fazendo o somatório de forças (não esquecer de decompor a força peso na direção x do plano inclinado e a direção y vertical ao plano), temos:

↗ ∑ F x = 0 ↖ ∑ F y = 0 ⟹ F a - P x = 0 N - P y = 0

F a = 5 ⋅ 9,81 ⋅ sen ⁡ 5 ° = 4,274   N N = 5 ⋅ 9,81 ⋅ cos ⁡ 5 ° = 48,86   N

Passo 2

Agora que obtemos as forças normal e de atrito que atuam no skate (e consequentemente nas rodinhas), já podemos partir para a análise das rodinhas.

Para facilitar a visualização do que está acontecendo nas rodinhas, vejamos o seguinte diagrama de corpo livre delas:

Sendo que o eixo (em cinza na figura) possui 12,5   m m de diâmetro. Antes que a gente calcule quem é r , o raio da rodinha, vamos precisar obter a força R .

Como a roda não está acelerada, temos:

∑ F x = 0 ∑ F y = 0 ⟹ F a - R x = 0 N - R y = 0

E assim chegamos que R x = 4,274   N e R y = 48,86   N . Portanto, o módulo desta força será:

R = R x 2 + R y 2 = 49,05   N

Passo 3

Para descobrirmos o raio r e finalizarmos a questão basta fazer o somatório de momentos igual a zero em relação ao centro da rodinha. Sendo assim, temos:

∑ M R O = 0

F a ⋅ r - R ⋅ r f = 0

Sendo r f = r ⋅ sen ⁡ ϕ k = r ⋅ sen ⁡ tan - 1 ⁡ μ k = 6,25 ⋅ sen ⁡ tan - 1 ⁡ 0,3 = 1,796   m m . Então,

r = 49,05 ⋅ 1,796 4,274 = 20,6   m m

E assim finalizamos a questão!

Resposta

r = 20,6   m m

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