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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 90

Quanta energia por quilograma deve ser fornecida a um satélite a fim de colocá-lo em uma órbita circular a uma altitude de ( a ) 600 k m e ( b )   6.000   k m ?

Passo 1

Fala, galera. Beleza? Bora para mais um exercício de Dinâmica. Primeiro, temos que r 1 vai ser igual ao raio da terra:

r 1 = R = 6,37 × 10 6   m

Além disso, sabemos que antes do lançamento:

v 1 = 0

E que a energia total antes do lançamento vai ser:

E 1 = T 1 + V 1 = 0 - G M m R E 1 = - g R 2 m R E 1 = - m g R

Quando o satélite estiver em órbita de raio r 2 , podemos utilizar a segunda lei de Newton. Fica assim:

F = m a G M m r 2 2 = m v 2 2 r 2

Isolando a velocidade v 2 , temos:

v 2 2 = G M r 2 v 2 2 = g R 2 r 2

Com isso, a energia total do satélite em órbita vai ser dada por:

E 2 = T 2 + V 2 = 1 2 m v 2 2 - G M m r 2 E 2 = 1 2 m g R 2 r 2 - g R 2 r 2 m E 2 = - 1 2 g R 2 m r 2

Passo 2

Em seguida, agora que encontramos as energias final e inicial, vamos calcular a sua variação. Fica assim:

∆ E = E 2 - E 1 ∆ E = - 1 2 g R 2 m r 2 - - m g R ∆ E = R m g 1 - R 2 r 2

Com isso, a gente obteve a energia necessária a ser fornecida para o lançamento do satélite. Porém, o nosso problema quer a energia necessária por massa, por isso, vamos dividir a equação acima pela massa m . Assim, vamos obter a seguinte relação:

∆ E m = R g 1 - R 2 r 2

Já que a gente encontrou a relação, basta substituirmos os valores de raios pedidos. Para o primeiro, à 600   k m da terra, r 2 vai ser:

r 2 = R + 600 = 6370 + 600 r 2 = 6970   k M

Substituindo:

∆ E m = R g 1 - R 2 r 2 ∆ E m = 6,37 × 10 6 9,81 1 - 6370 2 6970 ∆ E m = 33,9   M J / k g

Opa, essa é a energia por quilograma necessária para um satélite entrar em uma órbita circular a uma altitude de 600 k m .

Passo 3

Para encontramos a energia necessária para uma distância de 6000   k m basta utilizarmos a mesma relação, entretanto, o nosso r 2 vai ser:

r 2 = R + 600 0 = 6370 + 600 0 r 2 = 12370   k M

Substituindo:

∆ E m = R g 1 - R 2 r 2 ∆ E m = 6 , 37 × 10 6 9,81 1 - 6370 2 12370 ∆ E m = 46,4   M J / k g

É isso, galerinha. Bora praticar mais!

Resposta

∆ E m = 33,9   M J / k g

∆ E m = 46,4   M J / k g

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