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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 86

Um satélite é posto em uma órbita elíptica em torno da Terra. Sabendo-se que a razão v A / v P entre as velocidades no apogeu A e no perigeu P é igual à razão r P / r A , entre as distâncias de P e A ao centro da Terra e que a distância entre A e P é de 80.000 km, determine a energia por unidade de massa necessária para colocar o satélite nessa órbita lançando-o da superfície da Terra. Exclua a energia necessária para vencer o peso do foguete propulsor, a resistência do ar e as manobras.

Passo 1

Temos que:

v A v P = r P r A

Sabemos também que r A + r P = 80000   k m .

A energia total por massa para a órbita é de:

E 0 m = 1 m T A + V A = 1 m T P + V P

Aplicando ao problema, temos que:

1 m 0,5 m v A 2 - G M m r A = 1 m 0,5 m v P 2 - G M m r P

Organizando, temos que:

v A 2 1 - v P 2 v A 2 = 2 G M 1 r A - 1 r P

v A 2 1 - r P r A 2 = 2 G M r P - r A r p r A

v A 2 = 2 G M r p r A 1 r P + r A

Passo 2

Temos que:

E 0 m = 1 m 0,5 m 2 G M r p r A 1 r P + r A - G M m r A

Ou:

E 0 m = - G M r P + r A

Sabendo que G M = g R E 2 , temos que:

E 0 m = - 9,81 ( 6370 10 3 2 80000 10 3

E 0 m = - 4,9765 ⋅ 10 6   J / k g

Vamos calcular o raio em que a sonda espacial é disparada.

r A = h A + R

A energia total por unidade de massa na terra é de:

E E = T E + V E

A energia cinética é nula, logo:

E E = - m g R E 2 R E

E E m = - 9,81 6370 10 3

E E m = - 62,4897 10 6   J / k g

Passo 3

A energia por unidade de massa necessária para a propulsão será:

E P m = E 0 m - E E m

E P m = - 4,9765 10 6 - ( - 62,4897 10 6

E P m = 57,5 ⋅ 10 3   J / k g

Resposta

E P m = 57,5 ⋅ 10 3   J / k g

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