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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 136

Um recipiente de peso W = 1165   N é suspenso por três cabos como mostado na figura. Determine a tensão em cada cabo.

Passo 1

Vamos começar o exercício desenhando o DCL para o sistema no ponto A:

Aplicando o somatório de forças no ponto A, temos:

∑ F → A = 0

T → A B + T → A C + T → A D - 1165 j → = 0

Agora precisamos escrever os vetores tensão em termos de suas coordenadas, para isso, precisamos primeiro escrever o vetor que liga esses pontos, então:

A B → = 450 i → + 600 j →

A C → = 6 00 j → - 320 k →

A D → = - 500 i → + 600 j → + 36 0 k →

Agora, calculando o módulo desses vetores:

A B = 450 2 + 600 2 + 0 2 → A B = 750   m m

A C = 0 2 + 600 2 + - 320 2 → A C = 680   m m

A D = - 50 0 2 + 600 2 + 360 2 → A D = 860   m m

Agora podemos escrever os vetores tensão como:

T → A B = T A B . A B → A B = T A B 750 450 i → + 600 j → + 0 k → → T → A B = T A B 0,6 i → + 0,8 j →

T → A C = T A C . A C → A C = T A C 680 0 i → + 600 j → - 320 k → → T → A C = T A C 0,882 j → - 0,471 k →

T → A D = T A D . A D → A D = T A D 860 - 500 i → + 6 00 j → + 360 k → → T → A D = T A D - 0,581 i → + 0,698 j → + 0,419 k →

Passo 2

Agora substituindo os valores das tensões na equação de equilíbrio de forças do passo 1 para o ponto A, temos:

T A B 0,6 i → + 0,8 j → + T A C 0,882 j → - 0,471 k → + T A D 0,581 i → + 0,698 j → + 0,419 k → - 1165 j → = 0

Agora vamos separar as componentes i → ,   j → e k → :

0,6 T A B - 0,581 T A D = 0

0,8 T A B + 0,882 T A C + 0,698 T A D - 1165 = 0

- 0,471 T A C + 0,419 T A D = 0

Passo 3

Agora vamos isolar as componentes T A B da primeira equação do passo 2 e T A C da terceira equação:

T A B = 0,968 T A D

T A C = 0,889 T A D

Agora vamos substituir esses dois valores na segunda equação:

0,8 ( 0,968 T A D ) + 0,882 0,889 T A D + 0,698 T A D - 1165 = 0

Isolando T A D , temos:

T A D = 516,3   N

Agora substituindo esse valor nas duas primeiras equações do passo 3, temos:

T A B = 0,968 516,3 → T A B = 499,8   N

T A C = 0,889 516,3 → T A C = 459   N

Resposta

T A D = 516,3   N

T A B = 499,8   N

T A C = 459   N

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