Resolva o Prob. 7/140 quando , em vez de ser constante em 20°, está crescendo à taxa constante de . Encontre a quantidade de movimento angular do disco para o instante . Calcule também a energia cinética do disco. depende de ?

Para calcular precisaremos das componentes da velocidade angular do disco em relação aos eixos x’, y’ e z’, que será a soma da rotação do disco em seu próprio eixo mais a rotação da peça inteira em torno de z, como nesse caso temos a componente x e ela é a mesma para ambos os referenciais, , (e o mesmo valerá pro momento de inercia no próximo passo) calculando elas:

Os termos cosseno e seno aparecem pois a velocidade angular do centro está na direção z, e precisamos alinhar ela aos eixos z’ e y’, além disso, o primeiro termo de não aparece em pois a rotação do disco sempre vai ocorrer apenas na direção do eixo y’, mesmo que o conjunto inteiro gire.

E agora precisamos dos momentos de inercia de cada componente para acharmos a quantidade de movimento :

Calculamos agora :

Utilizando o ângulo de 20° para converter a base:

Temos um termo para calcularmos a quantidade de movimento do sistema todo, está faltando , sendo que a posição do centro de massa é dada e pela equação de precisaremos da velocidade do centro de massa do disco

será:

E o produto vetorial:

Substituindo cada valor na equação de :

Por fim, vamos calcular a energia cinética:

Como ainda não temos explicitamente :

O seno e o cosseno aparecem para ajustar o vetor de rotação do disco para o referencial x-y-z, já que antes estava apontado na direção de y’.

T então será:

A energia cinética não depende de .