Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 128

Resolva o problema 18-127 assumindo que o meteorito choca no satélite em A em vez de B

18.127 - Um satélite geoestacionário de 800 libras está girando com uma velocidade angular ω 0 = ( 1.5 r a d / s ) j quando é atingido em B por um meteorito de 6 onças viajando com uma velocidade v 0 = - ( 1600 f t / s ) i + ( 1300 f v s ) j + ( 4000 f t / s ) k em relação ao satélite. Sabendo que b = 20 i n e que os raios de giro do satélite são k r = k r = 28.8 i n ,  e  k v = 32.4 i n . , Determine o eixo de precessão e as taxas de precessão e rotação do satélite após o impacto

Passo 1

O exercício pede que a gente Resolva o problema 18-127 assumindo que o meteorito choca no satélite em A em vez de B

Massa do satélite

m = W g = 800 32.2 = 24.845 l b ⋅ s 2 / f t

Principal momento de Inércia

I - x = m k x 2 = ( 24.845 ) 28.8 12 2 = 143.106 l b ⋅ s 2 ⋅ f t I - y = m k y 2 = ( 24.845 ) 32.4 12 2 = 181.118 l b ⋅ s 2 ⋅ f t I - z = I - x = 143.106 l b ⋅ s 2 ⋅ f t

Massa do meteorito

m ' = 6 ( 16 ) ( 32.2 ) = 0.011649 l b ⋅ s 2 / f t

Momento inicial do meteorito

m ' v 0 = ( 0.011649 ) ( - 1600 i + 1300 j + 4000 k ) = - ( 18.63316 ⋅ s ) i + ( 15.140 + b ⋅ s ) j + ( 46.584 ( b ⋅ s ) k

Passo 2

Suponha que a posição do centro de massa do satélite mais o meteorito seja essencialmente a do satélite sozinho.

Posição do ponto A relativo ao centro de massa

r A / G = 42 12 j = ( 3.5 f t ) i

Velocidade angular do satélite antes do impacto

ω 0 = ( 1.5 r a d / s ) j ω 0 x = ω 0 2 = 0 , ω 0 y = 1.5 r a d / s

Momento angular do sistema satélite- meteorito antes do impacto

H G 0 = I - y ω i j + r B / G × m ' v 0

= ( 181.118 ) ( 1.5 ) j + i j k 3.5 - 1.66667 0 - 18.633 15.140 46.584

= ( 108.637 l b ⋅ s ⋅ f t ) j + ( 52.99 b ⋅ s ⋅ f t ) k

Princípio do Impulso Momento do sistema satélite-meteorito. Momento sobre G

H G 1 = H G 0 = H G

Velocidade angular imediatamente depois do impacto

ω = ω x i + ω y j + ω z → k

Negligencie a massa do meteorito

H G = Π x ω x + l - y ω y j + I - z ω z k ω x = H G x I x = 0 ω y = H G y I y = 108.637 181.118 = 0.59981 r a d / s ω Z = H G 2 I - z = 52.99 143.106 = 0.37028 r a d / s ω = ( 0.59981 r a d / s ) j + ( 0.37028 r a d / s ) k ω = ( 0.5998 l ) 2 + ( 0.37028 ) 2 = 0.70490 r a d / s H G = ( 108.637 ) 2 + ( 52.99 ) 2 = 120.872 l b ⋅ s ⋅ f t

Movimento após impacto. Como os momentos de inércia I - x  e  l - z são iguais, o corpo se move como um corpo axissimétrico com seus eixos como o eixo de simetria.

Movimento de inércia sobre eixo simétrico I = I → y ' = 181.1181 b ⋅ s 2 ⋅ f t

Movimento de inércia sobre eixo transversal através de G I ' = I ~ x = I - z = 143.106 l b ⋅ s 2 ⋅ f t

O movimento é uma cabine de precessão constante ϕ ˙ em torno do eixo de precessão junto com uma rotação constante ψ ˙ em torno do eixo de rotação ou simetria. Uma vez que I > I ' a precessão é retrógrada.

Passo 3

Eixo de precessão. O eixo de precessão é direcionado ao longo do vetor momento angular H G , que permanece fixo. Imediatamente após o impacto, seus cossenos de direção em relação aos eixos do corpo x, y, z são:

cos ⁡ θ x = H G x H G = 0                                                                         θ x = 90.0 ∘ c o s ⁡ θ y = H G y H G = 108.637 120.872 = 0.89878 θ y = 26.0 ∘ c o s ⁡ θ z = H G z H G = 52.99 120.872 = 0.43840 θ z = 64.0 ∘

O ângulo θ entre o eixo de rotação (eixo y) e o de precessão continua constante

θ = θ y = 26 , 002 ∘

O ângulo γ entre o vetor velocidade angular e o eixo de rotação (eixo y) é

c o s ⁡ γ = ω y ω = 0.59981 0.70490 γ = 31.689 ∘

o angulo γ também pode ser calculado por

t a n ⁡ γ = I I ' t a n ⁡ θ = 181.118 143.106 t a n ⁡ 26.002 ∘

O ângulo entre o eixo de precessão e o vetor velocidade angular é

γ - θ = 5.687 ∘

Passo 4

Taxas de precessão e giro

Configure o triângulo de adição de vetor para os componentes de velocidade angular. Aplique a lei dos senos.

ω sin ⁡ θ = ψ ˙ s i n ⁡ ( γ - θ ) = φ ˙ sin ⁡ γ

0.70490 sin ⁡ 26.002 ∘ = ψ ˙ sin ⁡ 5.687 ∘ = φ ˙ sin ⁡ 31.689 ∘

Taxa de precessão φ ˙ = 0.844 r a d / s

Taxa de giro ψ ˙ = 0.1593 r a d / s

Uma vez que γ > θ , a precessão é retrógrada

Resposta

Taxa de precessão φ ˙ = 0.844 r a d / s

Taxa de giro ψ ˙ = 0.1593 r a d / s

Uma vez que γ > θ , a precessão é retrógrada

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

18.66. Uma barra AB uniforme e delgada de massa m e um eixo vertical CD, cada com comprimento 2b, são soldados juntos em seus pontos médios G. Sabendo que o eixo gira numa taxa constante, determine as
Mostre que para um corpo asisimétrico sem força, a taxa de precessão pode ser expressa como ϕ ˙ = l ω 2 I ' c o s ⁡ θ onde ω 2 é o componente retangular de w ao longo do eixo de simetria do corpo.
O vetor de velocidade angular de uma bola de futebol que acabou de ser chutada é horizontal e seu eixo de simetria OC é orientado conforme mostrado. Sabendo que a magnitude da velocidade angular é 200
Se a Terra fosse uma esfera, a atração gravitacional do Sol, da Lua e dos planetas seria sempre equivalente a uma única força R agindo no centro de massa da Terra. No entanto, a Terra é na verdade um
Referindo-se ao Problema 18.143, (a) provar que o elipsóide de Poinsot é tangente ao plano invariável, (b) mostrar que o movimento do corpo rígido deve ser tal que o elipsóide de Poinsot pareça rolar