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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 135

As seguintes leituras foram obtidas, com uma roseta de deformação colada à superfície de um comonente de máquina:

ε 2 = - 90 × 10 - 6   m m / m m

ε 3 = - 190 × 10 - 6   m m / m m

ε 4 = - 240 × 10 - 6   m m / m m

Pede-se: (a)Qual deveria ser a leitura do extensômetro 1? (b) Determinar a máxima deformação específica de cisalhamento no plano da roseta.

Passo 1

Esse problema nos fornece as deformações por meio da utilização da roseta, então a gente vai ter que achar as deformações através dos valores dados, primeiro vamos calcular os ângulos da roseta:

θ 1 = 0 °

θ 2 = 60 °

θ 3 = 90 °

θ 4 = 120 °

A partir daí a gente vai ter que achar as deformações ε x   e   ε y . Vamos fazer isso no segundo passo.

Depois que achamos essas deformações podemos fazer o ciclo de Mohr e a brincadeira já ta no papo, partiu então!

Passo 2

A primeira coisa que a gente deve reparar aqui que vai facilitar muito a resolução é que os extensômetros 1 e 3 representam, respectivamente as deformações ε x e ε y . Beleza, vamos deixar essa informação de lado por um instante e resolver esse problema como se o extensômetro 3 não existisse, dessa forma vamos ter as equações da seguinte forma:

ε θ = ε x ⋅ c o s 2 ( θ ) + ε y ⋅ s e n 2 ( θ ) + γ x y ⋅ sen ⁡ θ ⋅ c o s ⁡ ( θ )

Daí é só substituir:

Para θ 2 = 60 °

ε 6 0 ° = ε x ⋅ c o s 2 ( 60 ° ) + ε y ⋅ s e n 2 ( 60 ° ) + γ x y ⋅ sen ⁡ 60 ° ⋅ c o s ⁡ ( 60 ° )

- 90 × 10 - 6 = ε x ⋅ 0,25 + ε y ⋅ 0,75 + γ x y ⋅ 0,433

Para θ 3 = 9 0 °

ε 0 ° = ε x ⋅ c o s 2 ( 90 ° ) + ε y ⋅ s e n 2 ( 90 ° ) + γ x y ⋅ sen ⁡ 90 ° ⋅ c o s ⁡ ( 90 ° )

- 190 × 10 - 6   = ε y

Para θ 4 = 120 °

ε 120 ° = ε x ⋅ c o s 2 ( 120 ° ) + ε y ⋅ s e n 2 ( 120 ° ) + γ x y ⋅ sen ⁡ 120 ° ⋅ c o s ⁡ ( 120 ° )

- 240 × 10 - 6 = ε x ⋅ 0,25 + ε y ⋅ 0,75 + γ x y ⋅ ( - 0,433 )

Assim, temos o seguinte sistema:

- 190 × 10 - 6   = ε y

- 90 × 10 - 6 = ε x ⋅ 0,25 + ε y ⋅ 0,75 + γ x y ⋅ 0,433

- 240 × 10 - 6 = ε x ⋅ 0,25 + ε y ⋅ 0,75 + γ x y ⋅ ( - 0,433 )

Passo 3

Vamos resolver esse sistema substituindo ε y nas duas últimas equações:

- 90 × 10 - 6 = ε x ⋅ 0,25 + ε y ⋅ 0,75 + γ x y ⋅ 0,433

- 90 × 10 - 6 = ε x ⋅ 0,25 + - 190 × 10 - 6 ⋅ 0,75 + γ x y ⋅ 0,433

ε x ⋅ 0,25 + γ x y ⋅ 0,433 = 52,5 × 10 - 6

- 240 × 10 - 6 = ε x ⋅ 0,25 + ε y ⋅ 0,75 + γ x y ⋅ ( - 0,433 )

- 240 × 10 - 6 = ε x ⋅ 0,25 + - 190 × 10 - 6   ⋅ 0,75 + γ x y ⋅ ( - 0,433 )

ε x ⋅ 0,25 + γ x y ⋅ - 0,433 = - 97,5 × 10 - 6

Somando as duas equações:

ε x ⋅ 0,25 + γ x y ⋅ 0,433 = 52,5 × 10 - 6

ε x ⋅ 0,25 + γ x y ⋅ - 0,433 = - 97,5 × 10 - 6

ε x = - 90 × 10 - 6   m m / m m

Subtraindo as mesmas duas equações:

ε x ⋅ 0,25 + γ x y ⋅ 0,433 = 52,5 × 10 - 6

ε x ⋅ 0,25 + γ x y ⋅ - 0,433 = - 97,5 × 10 - 6

γ x y = 180 × 10 - 6   m m / m m

Assim temos as nossas deformações:

ε x = - 90 × 10 - 6   m m / m m

ε y = - 190 × 10 - 6   m m / m m  

γ x y = 180 × 10 - 6   m m / m m

Passo 4

Agora a gente vai lembrar do que falamos no começo do passo 2 “que os extensômetros 1 e 3 representam, respectivamente as deformações ε x e ε y ”.

Com isso a gente vai ter que:

ε 1 = ε x = - 90 × 10 - 6   m m / m m

Passo 5

Vamos fazer então o ciclo de Mohr para deformações. Para isso a gente tem que lembrar como calcula a deformação específica normal média e o raio:

ε m é d = ε x + ε y 2

R = ε x - ε y 2 2 + γ x y 2 2

Perceba que é muito parecido com o ciclo de Mohr com as tensões mas aqui utilizamos:

  • ε que é a deformação específica normal.
  • γ que é a deformação angular.

utilizando os cálculos do passo 1:

ε m é d = ε x + ε y 2

ε m é d = - 90 × 10 - 6 + ( - 190 × 10 - 6 )   2 = - 140 × 10 - 6   m m / m m

E

R = - 90 × 10 - 6 - ( - 190 × 10 - 6 )   2 2 + 180 × 10 - 6 2 2

R = 10600 × 10 - 12

R = 103 × 10 - 6   m m / m m

Agora podemos desenhar o ciclo de Mohr:

Passo 6

A máxima deformação específica de cisalhamento no plano γ m á x   ( n o   p l a n o ) é obtida, também, pelo ciclo de Mohr e é igual ao raio a duas vezes o raio:

1 2 γ m á x ( n o   p l a n o ) = R

γ m á x ( n o   p l a n o ) = 2 R

γ m á x n o   p l a n o = 2 ⋅ 103 × 10 - 6 = 206 × 10 - 6   m m / m m

Resposta

a)

ε 1 = ε x = - 90 × 10 - 6   m m / m m

b)

γ m á x n o   p l a n o = 206 × 10 - 6   m m / m m

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