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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 119

No sistema de engrenagens planetárias mostrado, o raio das engrenagens A, B, C e D é de 3 pol. E o raio da engrenagem externa E é de 9 pol. Sabendo que a engrenagem A tem uma velocidade angular constante de 150 rpm no sentido horário e que a engrenagem externa E é estacionária, determine a magnitude da aceleração do dente da engrenagem D que está em contato com (a) a engrenagem A, (b) engrenagem E.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a magnitude da aceleração do dente da engrenagem D que está em contato com (a) a engrenagem A, (b) engrenagem E

T = dente de engrenagem D em contato com a A

Engrenagens: v r = r ω j = ( 3 i n . ) ω A

Uma vez que v E = 0 , E é o centro instantâneo com engrenagem A

v T = 2 r ω D

( 3   i n .   ) ω A = 2 ( 3   i n .   ) ω D

ω D = 1 2 ω A

v D = r ω D = ( 3 i n . ) 1 2 ω A = ( 1.5 i n . ) ω A

Passo 2

:

v D = ( 6   i n .   ) ω S

( 1.5   i n .   ) ω A = ( 6   i n .   ) ω S

ω S = 1 4 ω A

ω A = 150 r p m = 15.708 r a d / s )   ω D = 1 2 ω A = 7.854 r a d / s )   ω S = 1 4 ω A = 3.927 r a d / s )  

Passo 3

Aceleração:

Aranha:

ω S = 3.927 r a d / s   a D = ( A D ) ω S 2 = ( 6 i n . ) ( 3.927 r a d / s ) 2   a D = 92.53 i n . s 2 ↑  

Movimento plano + Translação com D + rotação sobre D

Passo 4

(a) dente T com contato com a engrenagem A

a T = a D + a T / D = a D + ( D T ) ω D 2

= 92.53 i n . / s 2 ↑ + ( 3   i n .   ) ( 7.854 r a d / s ) 2 ↓   = 92.53 i n . / s 2 ↑ + 185.06 i n / s 2 ↓  

a T = 92.53 i n / s 2 ↓

a T = 92.5   i n   / s 2

Passo 5

(b) Dente E em contato com a engrenagem E

a E = a D + a E / D = a D + ( E D ) ω D 2

= 92.53 i n / s 2 ↑ + ( 3 i n ) ( 7.854 r a d / s ) 2   = 92.53 i n / s 2 ↑ + 185.06 i n ⋅ s 2 ↑   ↑

a E = 278   i n .   / s 2 ↑

a E = 278   i n .   / s 2

Resposta

(a)   a T = 92.5   i n   / s 2

(b)   a E = 278   i n .   / s 2

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