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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 112

Uma sonda espacial descreve uma órbita circular de raio nR com velocidade v0 em torno de uma planeta de raio R e centro O. Mostre que (a) para que a sonda espacial deixar sua órbita e atingir o planeta com um ângulo com a vertical, sua velocidade deve ser reduzida a v0, onde

α = 2 n - 1 n 2 - sin 2 ⁡ θ

(b) a sonda não atingirá o planeta se for maior que ( 2 1 + n .

Passo 1

Fala, galera. Beleza? Bora para mais um exercício de Dinâmica. Primeiro, vamos determinar os raios em A ,   B e C :

r A = 1740 + 140 r A = 1880 × 10 3   m

r B = r C = R = 1740   k m r B = r C = 1740 × 10 3   m

E também:

G M L u a = 0,0123 G M t e r r a G M L u a = 0,0123 g R t e r r a 2 = 0,0123 9,81 6,37 × 10 6 2 G M L u a = 4,896 × 10 12   m 2 / s 2

Em seguida, temos que calcular a velocidade na órbita circular a 140   k m de altitude. Para isso, vamos utilizar a seguinte relação:

v c i r c = G M L u a r A = 4,896 × 10 12 1880 × 10 3   v c i r c = 1,6138 × 10 3   m / s

Passo 2

Sabemos que uma trajetória elíptica entre A e C , onde o módulo de excursão lunar é apenas tangente à superfície da lua, dará a menor redução de velocidade em A , o que causará impacto.

Com isso, vamos utilizar a conservação de energia entre os pontos A e C :

T A + V A = T C + V C

Entretanto, antes disso, temos que determinar a energia cinética em A :

T A = 1 2 m A v A 2

Em seguida, vamos determinar a energia potencial no ponto A :

V A = - G M L u a m r A = - 4,896 × 10 12 1880 × 10 3   V A = - 2,604 × 10 6   m

Agora, vamos fazer o mesmo para o ponto C . Vamos determinar a energia cinética em C :

T C = 1 2 m v C 2

E então, vamos determinar a energia potencial no ponto C :

V C = - G M L u a m r C - 4,896 × 10 12 11740 × 10 3   V C = - 2,814 × 10 6   m

Agora é só substituir. Fica assim:

T A + V A = T C + V C 1 2 m A v A 2 - 2,604 × 10 6 m = 1 2 m v C 2 - 2,814 × 10 6   m v A 2 = v C 2 - 419,1 × 10 3

Passo 3

Agora, vamos utilizar a conservação de momento angular a fim de obtermos uma segunda equação para termos um sisteminha linear e encontramos v a . Logo:

r A m v A = r C m v C v C = r A r C v A = 1880 1740 v a v C = 1,0805 v A

Resolvendo este sistema, vamos encontrar a velocidade em A , dada por:

v A = 1582   m / s

Assim, a menor redução de velocidade vai ser:

∆ A = v A c i r c - v A = 1619 - 1582 ∆ A = 31,5   m / s

Passo 4

Para encontrarmos a redução de velocidade para que ele possa atingir a superfície da lua vai ser parecido com a primeira parte. Porém, as relações serão entre os pontos A e B .

Como r B = r C , através da conservação de energia vamos encontrar a mesma relação entre A e C :

v A 2 = v B 2 - 419,1 × 10 3

E então, vamos utilizar a conservação de momento angular a fim de obtermos uma segunda equação para termos um sisteminha linear e encontramos v a . Logo:

r A m v A = r B m v B sin ⁡ ϕ v B = r A r B v A = 1880 1740 sin ⁡ 45 ° v a v C = 1,528 v A

Resolvendo este sistema, vamos encontrar a velocidade em A , dada por:

v A = 560   m / s

Assim, a menor redução de velocidade vai ser:

∆ A = v A c i r c - v A = 1614 - 560 ∆ A = 1053   m / s

É isso, galerinha. Bora praticar mais!

Resposta

∆ A = 31,5   m / s

∆ A = 1053   m / s

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