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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 63

Se a tração máxima permitida nos cabos A B e A C é 2500   N , determine a altura máxima z à qual a caixa de 100   k g pode ser elevada. Qual força horizontal F deve ser aplicada? Considere y = 2,4   m .

Passo 1

Para determinar a altura z , o que deve ser feito primeiramente é o diagrama de corpo livre no qual serão representadas as forças envolvidas.Em seguida, o equilíbrio de forças deve ser analisado nas três dimensões x ,   y   e   z , pelo fato de as forças estarem atuando em todos esses três sentidos.

Assim, será possível escrever as equações de equilíbrio.

Tem-se que a caixa exerce uma força peso para baixo que tem intensidade de W = 1 00 × 9,81 = 981   N .

Passo 2

Logo, fazendo o diagrama de corpo livre tem-se:

E, então, observando o desenho feito consegue-se montar as equações de equilíbrio.

Passo 3

É possível denotar as forças F A B , F A C e o peso W na forma vetorial. Então, tem-se que:

Para A B :

F A B = F A B - 1,5 i - y j + 1,2 - z k - 1,5 2 + - y 2 + 1,2 - z 2 = 2 500 - 1,5 i - y j + 1,2 - z k - 1,5 2 + - y 2 + 1,2 - z 2

Para A C :

F A C = F A C 1,5 i - y j + 1,2 - z k 1,5 2 + - y 2 + 1,2 - z 2 = 2 500 1,5 i - y j + 1,2 - z k 1,5 2 + - y 2 + 1,2 - z 2

E para W :

W = - 981 k

Passo 4

O equilíbrio requer quer que o somatório de forças em cada dimensão seja nulo, ou seja:

∑ F x = 0 ;           ∑ F y = 0 ;           ∑ F z = 0

Adotando o sentido dos eixos mostrado no desenho do enunciado:

∑ F x = 0

2 500 - 1,5 2,25 + 2,4 2 + 1,2 - z 2 + 2 500 1,5 2,25 + 2,4 2 + 1,2 - z 2 = 0   ( 1 )

∑ F y = 0

2 500 - y 2,25 + y 2 + 1,2 - z 2 + 2 500 - y 2,25 + y 2 + 1,2 - z 2 + F = 0   ( 2 )

∑ F z = 0

2 500 1,2 - z - 1,5 2 + - y 2 + 1,2 - z 2 + 2 500 1,2 - z - 1,5 2 + - y 2 + 1,2 - z 2 - 981 = 0   3

No entanto, a partir das equações (2) e (3) e com o valor de y dado pelo problema:

5000 2,4 = F 2,25 + 2,4 2 + 1,2 - z 2   ( 3 )

E:

5 000 1,2 - z = 981 2,25 + 2,4 2 + 1,2 - z 2   ( 4 )

Passo 5

Com essas duas últimas equações obtidas, pode-se escrever a seguinte relação:

2 , 4 1,2 - z = F 981

1,2 - z F = 2 , 4 981 → 1,2 - z = 2354 , 4 F   ( 5 )

Esse valor de z pode ser substituído na equação (3), tal que:

F = 500 0 2,4 2,25 + 2,4 2 + 2354 , 4 F 2

Elevando ambos os lados da equação ao quadrado:

F 2 = 12000 2 8,01 + 2354 , 4 2 F ²

8,01 F 2 + 2354 , 4 2 = 12000 2

∴ F = 4157,58   N

E, então, voltando para a equação (5):

z = 0,634   m

Resposta

F = 4157,58   N

z = 0,634   m

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