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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 17.Problemas - Ex. 4

O tronco de cone é formado girando-se a área sombreada em torno do eixo x . Determine o momento de inércia I x e expresse o resultado em termos da massa total m do tronco. O tronco tem uma densidade constante ρ .

Passo 1

Sabemos que d m = ρ d V , então d m = ρ π y 2 d x = ρ π b 2 a 2 x 2 + 2 b 2 a x + b 2 d x . Vamos integrar o valor da massa para que a gente possa encontrar o valor total da massa. Com isso,

m = ∫ m d m = ρ π ∫ 0 a b 2 a 2 x 2 + 2 b 2 a x + b 2 d x = 7 3 ρ π a b 2

Passo 2

Agora que já conhemos a massa, vamos calcular o valor do momento de inércia. Então,

d I x = 1 2 d m y 2 = 1 2 ρ π y 4 d x

d I x = 1 2 ρ π b 4 a 4 x 4 + 4 b 4 a 3 x 3 + 6 b 4 a 2 x 2 + 4 b 4 a x + b 4 d x

I x = ∫ d I x = 1 2 ρ π ∫ 0 a b 4 a 4 x 4 + 4 b 4 a 3 x 3 + 6 b 4 a 2 x 2 + 4 b 4 a x + b 4 d x = 31 10 ρ π a b 4

Passo 3

Encotramos o valor da massa e do mometo de inércia. Agora basta fazermos um uma jogada matemática para colocar a massa dentro do momento de inércia. Então,

I x = 31 10 ρ π a b 4 = 7 3 ρ π a b 2 93 70 b 2 = 93 70 m b 2

Resposta

I x = 93 70 m b 2

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