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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 54

Um vaso de pressão cilíndrico de parede fina tem raio interno r , espessura t e comprimento L . Se for submetido a uma pressão interna p , mostre que o aumento em seu raio interno é d r   =   r ϵ 1 =   p r ² ( 1   -   1 / 2 v   ) / E t e o aumento em seu comprimento é Δ L   =   p L r ( 1 / 2   - v   ) / E t . Com esses resultados, mostre que a mudança no volume interno torna-se d V   =   π r ² ( 1   + ϵ 1 ) ² ( 1   + ϵ 2 ) L   –   π r ² L . Visto que ϵ 1 e ϵ 2 são quantidades pequenas, mostre também que a mudança no volume por unidade de volume, denominada deformação volumétrica, pode ser expressa como d V / V   =   p r ( 2,5   –   2   v ) / E t .

Passo 1

Olá, pessoal!

Começaremos determinando as tensões com as quais estamos trabalhando. É um vaso de pressão cilíndrico. Logo teremos que:

σ 1 = p r t

σ 2 = p r 2 t

σ 3 = 0  

Agora nos resta determinar quais são as deformações provenientes dessas tensões. Para isso utilizaremos a equação:

ϵ x = 1 E σ x - v σ y + σ z

ϵ y = 1 E σ y - v σ x + σ z

Passo 2

Agora partiremos para análise das tensões.

Ao isolarmos um elemento de volume na casca de um vaso de pressão temos que σ 1 é tensão normal que atua na direção circunferencial e σ 2 é a tensão normal que atua no sentido longitudinal ou axial do vaso.

Por isso podemos definir como:

σ 1 = σ x

σ 2 = σ y

σ 3 = σ z

Sendo assim temos que o aumento do raio interno do vaso é:

d r = ϵ 1 r

ϵ 1 = 1 E σ 1 - v σ 2 + σ 3

ϵ 1 = 1 E p r t - v p r 2 t + 0

ϵ 1 = p r E t 1 - v 2

d r = p r 2 E t 1 - v 2

Agora iremos fazer o mesmo procedimento para a tensão σ 2 a fim de descobrir qual será o aumento de comprimento do vaso:

Δ L = ϵ 2 L  

ϵ 2 = 1 E σ 2 - v σ 1 + σ 3

ϵ 2 = 1 E p r 2 t - v p r t + 0

ϵ 2 = p r E t 1 2 - v

Δ L = p L r E t 1 2 - v

Passo 3

Para calcularmos a mudança do volume interno basta calcularmos o volume final ( V ' ), com as tensões aplicadas, e subtrair do volume inicial do cilindro ( V ).

V ' = π r + ϵ 1 r 2 ⋅ ( L + ϵ 2 L )

V = π r 2 L  

d V = V ' - V = π r + ϵ 1 r 2 ⋅ L + ϵ 2 L - π r 2 L  

d V = π r 2 1 + ϵ 1 2 ⋅ 1 + ϵ 2 L - π r 2 L  

A questão ainda pede a mudança no volume, por unidade de volume, ou seja, a deformação volumétrica.

d V V = π r 2 1 + ϵ 1 2 ⋅ 1 + ϵ 2 L - π r 2 L π r 2 L    

Como a questão pede para considerar ϵ 1 e ϵ 2 como unidades pequenas, podemos fazer a seguinte igualdade:

1 + ϵ 1 2 ⋅ 1 + ϵ 2 = 1 + 2 ϵ 1 ⋅ 1 + ϵ 2 = 1 + ϵ 2 + 2 ϵ 1

Com isso podemos simplificar a equação até o resultado desejável.

d V V = π r 2 ( 1 + ϵ 2 + 2 ϵ 1 ) L - π r 2 L π r 2 L    

d V V = π r 2 L ( 1 + ϵ 2 + 2 ϵ 1 ) - π r 2 L π r 2 L    

d V V = 1 + ϵ 2 + 2 ϵ 1 - 1    

d V V = p r E t 1 2 - v + 2 p r E t 1 - v 2

d V V = p r E t 2,5 - 2 v

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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