Exercícios Resolvidos de Método de Gauss-Jacobi
Enunciado
Considere o sistema:
Calcule, pelo método de Gauss-Jacobi uma primeira aproximação , partindo de e usando o sistema de forma tal que a convergência do método de Gauss-Jacobi esteja garantida.
Passo 1
Opaaa!! O objetivo do método de Gauss-Jacobi é encontrar uma aproximação desejada para a solução de sistemas lineares. Porém, para poder aplicar esse método, precisamos primeiro falar sobre convergência, pois só poderemos aplicar esse método se o sistema linear convergir.
Show de bola?!
Tá... e como funciona esse critério de convergência?
Uma condição suficiente para a convergência do método de Gauss-Jacobi é o critério das linhas. Nesse critério precisamos calcular um para cada linha da matriz. Se o maior desses for menor do que 1, então o nosso critério foi satisfeito e o método irá convergir!!
Vamos fazer as continhas pra ficar mais claro!
Aqui como o nosso sistema tem 3 equações, calcularemos e :
e
Beleza?! MAS PERA! Quem são esses , ...?
Podemos reescrever o nosso sistema na forma de matriz, olha só:
Os elementos da matriz dos coeficientes serão os elementos
Que usaremos para calcular cada
Show de bola?!
Passo 2
Já que para que a convergência do método esteja garantida precisamos atender ao critério das linhas, podemos trocar as linhas de forma que os maiores elementos de cada linha fiquem na diagonal principal. Assim, eles estarão no denominador de cada e a chance deles serem menores do que 1 aumenta!!
Assim, podemos fazer as trocas :
E em seguida a troca :
Fizemos isso para que
Dessa forma temos:
Então o critério das linhas é atendido e a convergência é garantida. Show de bola!? Agora vamos achar as funções de iteração e fazer as continhas!!
Passo 3
Para encontrar as funções de iteração vamos isolar o na primeira equação, o na segunda equação e o na terceira equação. Assim, as funções de iteração são:
E temos do enunciado que
Passo 4
Iteração : Vamos substituir os valores de nas funções de iteração para achar :
Pronto, obtemos nossa aproximação .
Resposta
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