Exercícios Resolvidos de Método de Gauss-Jacobi
Enunciado
Use o método de Gauss-Jacobi para resolver o sistema abaixo utilizando e
Obs.: Esse sistema converge pelo critério das linhas!
Passo 1
Bom!!! A primeira coisa que faríamos aqui seria aplicar o critério das linhas para verificar se o nosso sistema vai convergir para a nossa raiz, mas no enunciado já é dito que ele converge, então vamos pular essa parte para nos poupar tempo!!
Então o próximo passo é encontrar as funções de iterações pra fazermos as continhas!
Passo 2
Para encontrar as funções de iteração vamos isolar o na primeira equação, o na segunda equação e o na terceira equação! (Aqui é como se o , e , beleza?)
Assim, as funções de iteração são:
Como aproximação inicial temos e .
Passo 3
Iteração : Vamos substituir os valores de nas funções de iteração para achar :
Substituindo os valores, temos
Da mesma forma,
Substituindo os valores,
Agora utilizaremos o mesmo raciocínio para o :
Assim, fazendo a substituição e as continhas,
Então temos . Será que essa já é a nossa resposta???
Vamos verificar utilizando o critério de parada!! Para isso, faremos a diferença do que achamos nessa primeira iteração com o do chute inicial!
Critério de Parada:
Se você reparar, o valor que encontramos é maior que a precisão dada no enunciado
Não atingimos o critério, então continuamos as iterações!
Passo 4
Para a segunda iteração utilizaremos o valor encontrado na primeira iteração e a precisão dada no enunciado
Iteração :
Substituindo os valores , temos
Da mesma forma,
Substituindo os valores,
Agora utilizaremos o mesmo raciocínio para o :
Assim, fazendo a substituição,
Então temos . Será que essa agora é a nossa resposta??? Vamos avaliar pelo critério de parada!
Critério de Parada:
Se você reparar, o valor que encontramos é maior que a precisão dada no enunciado
Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.
Passo 5
Vamos continuar com o mesmo raciocínio! Agora utilizando
Iteração :
Então temos . Será que agora chegamos na nossa resposta?
Critério de Parada:
OPA! Se você reparar,
Ou seja, atingimos o nosso critério de parada e chegamos na nossa aproximação:
Show de bola?!
