Exercícios Resolvidos de Método de Gauss-Jacobi

Enunciado

Use o método de Gauss-Jacobi para resolver o sistema abaixo utilizando x 0 = 0,0 , 0 e ε = 0.1

3 x 1 - x 2 + x 3 = 1 3 x 1 + 6 x 2 + 2 x 3 = 0 3 x 1 + 3 x 2 + 7 x 3 = 4

Obs.: Esse sistema converge pelo critério das linhas!

Passo 1

Bom!!! A primeira coisa que faríamos aqui seria aplicar o critério das linhas para verificar se o nosso sistema vai convergir para a nossa raiz, mas no enunciado já é dito que ele converge, então vamos pular essa parte para nos poupar tempo!!

Então o próximo passo é encontrar as funções de iterações pra fazermos as continhas!

Passo 2

Para encontrar as funções de iteração vamos isolar o x 1 na primeira equação, o x 2 na segunda equação e o x 3 na terceira equação! (Aqui é como se o x 1 = x , x 2 = y e z = x 3 , beleza?)

Assim, as funções de iteração são:

x 1 k + 1 = 1 + x 2 k - x 3 k 3

x 2 k + 1 = - 3 x 1 k - 2 x 3 k 6

x 3 k + 1 = 4 - 3 x 1 k - 3 x 2 k 7

Como aproximação inicial temos x 0 = 0,0 , 0 e ε = 0.01 .

Passo 3

Iteração 1 : Vamos substituir os valores de X 0 = 0,0 , 0 nas funções de iteração para achar X 1 :

x 1 1 = 1 + x 2 0 - x 3 0 3

Substituindo os valores X 0 = 0,0 , 0 , temos

x 1 1 = 0.333

Da mesma forma,

x 2 1 = - 3 x 1 0 - 2 x 3 0 6

Substituindo os valores,

x 2 1 = 0

Agora utilizaremos o mesmo raciocínio para o x 3 1 :

x 3 1 = 4 - 3 x 1 0 - 3 x 2 0 7

Assim, fazendo a substituição e as continhas,

x 3 1 = 0.571

Então temos x 1 = 0.333,0 , 0.571 . Será que essa já é a nossa resposta???

Vamos verificar utilizando o critério de parada!! Para isso, faremos a diferença do x 1 que achamos nessa primeira iteração com o x 1 do chute inicial!

Critério de Parada:

x 1 1 - x 1 0 = 0.333

Se você reparar, o valor que encontramos é maior que a precisão dada no enunciado

0.333 > 0.1 = ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações!

Passo 4

Para a segunda iteração utilizaremos o valor encontrado na primeira iteração x 1 = 0.333,0 , 0.571 e a precisão dada no enunciado ε = 0.1

Iteração 2 :

x 1 2 = 1 + x 2 1 - x 3 1 3

Substituindo os valores x 1 = 0.333,0 , 0.571 , temos

x 1 2 = 0.143

Da mesma forma,

x 2 2 = - 3 x 1 1 - 2 x 3 1 6

Substituindo os valores,

x 2 1 = - 0.357

Agora utilizaremos o mesmo raciocínio para o x 3 2 :

x 3 2 = 4 - 3 x 1 1 - 3 x 2 1 7

Assim, fazendo a substituição,

x 3 2 = 0.429

Então temos x 2 = 0.143 , - 0.357,0.429 . Será que essa agora é a nossa resposta??? Vamos avaliar pelo critério de parada!

Critério de Parada:

x 1 2 - x 1 1 = 0.19

Se você reparar, o valor que encontramos é maior que a precisão dada no enunciado

0.19 > 0.1 = ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações.

Passo 5

Vamos continuar com o mesmo raciocínio! Agora utilizando x 2 = 0.143 , - 0.357,0.429

Iteração 3 :

x 1 3 = 1 + x 2 2 - x 3 2 3

x 1 3 = 0.071

x 2 3 = - 3 x 1 2 - 2 x 3 2 6

x 2 3 = - 0.214

x 3 3 = 4 - 3 x 1 2 - 3 x 2 2 7

x 3 3 = 0.663

Então temos x 3 = 0.071 , - 0.214,0.663 . Será que agora chegamos na nossa resposta?

Critério de Parada:

x 1 3 - x 1 2 = 0.071 > ε

OPA! Se você reparar,

0.071 < 0.1 = ε

Ou seja, atingimos o nosso critério de parada e chegamos na nossa aproximação:

x = 0.071 , - 0.214,0.663

Show de bola?!

Resposta

x = 0.071 , - 0.214,0.663