Exercícios Resolvidos de Método de Gauss-Jacobi

Enunciado

Resolva o sistema linear abaixo com x 0 = - 1.8   5.5   7.3   e ε = 0 . 3

6 x + 3 y + z = 10 4 x + 9 y - 3 z = 16 x - y + 3 z = 14

Pelo Método de Gauss-Jacobi!

Passo 1

Vamos lá!! Como esse método é iterativo, precisamos de uma aproximação inicial, vulgo chute inicial. Nesse caso, nosso chute inicial é x , y , z = - 1.8,5.5,7.3 . Aquele 0 em cima do x é o número da iteração em que estamos ;)

Beleza, e qual será a função de iteração que a gente deve usar? Nós vamos tirar essas funções do próprio sistema, se liga:

Função de iteração para o x   →   Pegamos a primeira equação e isolamos o x :

6 x + 3 y + z = 10

x k + 1 = 10 - 3 y k - z k 6

Função de iteração para o y →   Pegamos a segunda equação e isolamos o y:

4 x + 9 y - 3 z = 16

y k + 1 = 16 - 4 x k + 3 z k 9

Função de iteração para o z →   Pegamos a terceira equação e isolamos o z :

x - y + 3 z = 14

z k + 1 = 14 - x k + y k 3

Deu pra pegar o espírito né?! De forma geral, a função de iteração para um x i (iésima incognita) qualquer em um sistema de n equações é obtida pegando a iésima equação e isolando o x i .

Continuando o processo, o que faremos agora é aplicar essas funções de iteração nas nossas aproximações iniciais:

Iteração 1:

x 1 = 10 - 3 y 0 - z 0 6

x 1 = 10 - 3 ∙ 5.5 - 7.3 6

x 1 = - 2.3

Mesmo procedimento para o y :

y 1 = 16 - 4 x 0 + 3 z 0 9

y 1 = 16 - 4 ∙ - 1.8 + 3 ∙ 7.3 9

y 1 = 5.0 1 _

Análogo para z :

z 1 = 14 - x 1 0 + y 0 3

z 1 = 14 + 1.8 + 5.5 3

z 1 = 7.1

Então ficamos com x 1 = - 2.3 ,   5.0 1 ,   7.1 .

Vamos verificar se já atingimos nosso critério de parada??

x 1 1 - x 1 0 = 0.5 > ε

Opa, ainda não! Precisamos continuar as iterações!!

Passo 2

Iteração 2:

x 2 = 10 - 3 y 1 - z 1 6

x 2 = 10 - 3 ∙ 5.0 1 _ - 7.1 6

x 2 = - 2.0 2 _

Para o y :

y 2 = 16 - 4 x 1 + 3 z 1 9

y 2 = 16 - 4 ∙ - 2.3 + 3 ∙ 7.1 9

y 2 = 5.1 6 _

Para o z :

z 2 = 14 - x 1 + z 1 3

z 2 = 14 + 2.3 + 5.0 1 _ 3

z 2 = 7.1 037 _

Então ficamos com y 2 = - 2.0 2 _ ,   5.1 6 _ ,   7.1 037 _ .

Critério de Parada

x 2 - x 1 = 0.2 7 > ε

Opa!! Se você reparar

0.27 < 0.3

Ou seja, atingimos o nosso critério de parada! Logo, a nossa aproximação é y 2 = - 2.02 ,   5.1 6 ,   7.1 037

Resposta

y 2 = - 2.0 2 ,   5.1 6 ,   7.1 037