Exercícios Resolvidos de Método de Gauss-Jacobi

Enunciado

Use o método de Gauss-Jacobi para resolver o sistema abaixo utilizando x 0 = 0,0 , 0 e ε = 0.1

10 x 1 - x 2     = 9 - x 1 + 10 x 2 - 2 x 3 = 7   - 2 x 2 + 10 x 3 = 6

Obs.: Esse sistema converge pelo critério das linhas!

Passo 1

Ó, a primeira coisa que faríamos aqui seria aplicar o critério das linhas para verificar se o nosso sistema vai convergir para a nossa raiz, mas no enunciado já é dito que ele converge, então vamos pular essa parte para nos poupar tempo!!

Então o próximo passo é encontrar as funções de iterações pra fazermos as continhas!

Passo 2

Para encontrar as funções de iteração vamos isolar o x 1 na primeira equação, o x 2 na segunda equação e o x 3 na terceira equação! (Aqui é como se o x 1 = x , x 2 = y e z = x 3 , beleza?)

Assim, as funções de iteração são:

x 1 k + 1 = 9 + x 2 k 10

x 2 k + 1 = 7 + x 1 k + 2 x 3 k 10

x 3 k + 1 = 6 + 2 x 2 k 10

Como aproximação inicial temos x 0 = 0,0 , 0 e ε = 0.1

Passo 3

Iteração 1 : Vamos substituir os valores de X 0 = 0,0 , 0 nas funções de iteração para achar X 1 :

x 1 1 = 9 + x 2 0 10

Substituindo os valores X 0 = 0,0 , 0 , temos

x 1 1 = 0.9

Da mesma forma,

x 2 1 = 7 + x 1 0 + 2 x 3 0 10

Substituindo os valores,

x 2 1 = 0.7

Agora utilizaremos o mesmo raciocínio para o x 3 1 :

x 3 1 = 6 + 2 x 2 0 10

Assim, fazendo a substituição e as continhas,

x 3 1 = 0.6

Então temos x 1 = 0.9 ,   0.7 ,   0.6 . Será que essa já é a nossa resposta???

Vamos verificar utilizando o critério de parada!! Para isso, faremos a diferença do x 1 que achamos nessa primeira iteração com o x 1 do chute inicial!

Critério de Parada:

x 1 1 - x 1 0 = 0.9

Se você reparar, o valor que encontramos é maior que a precisão dada no enunciado

0 . 9 > 0.1 = ε

Não atingimos o critério, então continuamos as iterações!

Passo 4

Para a segunda iteração utilizaremos o valor encontrado na primeira iteração x 1 = 0.9 ,   0.7 ,   0.6 e a precisão dada no enunciado ε = 0.1

Iteração 2 :

x 1 2 = 9 + x 2 1 10

Substituindo os valores x 1 = 0.9 ,   0.7 ,   0.6 , temos

x 1 2 = 0.97

Da mesma forma,

x 2 2 = 7 + x 1 1 + 2 x 3 1 10

Substituindo os valores,

x 2 1 = 0.91

Agora utilizaremos o mesmo raciocínio para o x 3 2 :

x 3 2 = 6 + 2 x 2 1 10

Assim, fazendo a substituição,

x 3 2 = 0.74

Então temos x 2 = 0.97 ,   0.91 ,   0.74 . Será que essa agora é a nossa resposta??? Vamos avaliar pelo critério de parada!

Critério de Parada:

x 1 2 - x 1 1 = 0.07

OPA! Se você reparar,

0.07 < 0.1 = ε

Ou seja, atingimos o nosso critério de parada e chegamos na nossa aproximação:

x = 0.97 ,   0.91 ,   0.74

Show de bola?!

Resposta

x = 0.97 ,   0.91 ,   0.74