Exercícios Resolvidos de Método de Gauss-Jacobi

Enunciado

Use o sistema de forma tal que a convergência do método esteja garantida pelo método de Gauss-Jacobi.

10 x 1 - x 2     = 9 - x 1 + 10 x 2 - 2 x 3 = 7   - 2 x 2 + 10 x 3 = 6

Passo 1

Vamos láá!! O objetivo do método de Gauss-Jacobi é encontrar uma aproximação desejada para a solução de sistemas lineares. Porém, para poder aplicar esse método, precisamos primeiro falar sobre convergência, pois só poderemos aplicar esse método se o sistema linear convergir.

Show de bola?!

Tá... e como funciona esse critério de convergência?

Uma condição suficiente para a convergência do método de Gauss-Jacobi é o critério das linhas. Nesse critério precisamos calcular um α para cada linha da matriz. Se o maior desses α n for menor do que 1, então o nosso critério foi satisfeito e o método irá convergir!!

Vamos fazer as continhas pra ficar mais claro!

Aqui como o nosso sistema tem 3 equações, calcularemos α 1 ,   α 2 e α 3 :

Passo 2

α 1 = a 12 + a 13 a 11

α 2 = a 21 + a 23 a 22

e

α 3 = a 31 + a 32 a 33

Beleza?! MAS PERA! Quem são esses a 12 , a 23 ...?

Podemos reescrever o nosso sistema na forma de matriz, olha só:

1 0 - 1 0 - 1 10 - 2 0 - 2 1 0 x y z = 9 7 6

Os elementos da matriz dos coeficientes serão os elementos

a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

Que usaremos para calcular cada α

Show de bola?!

Passo 3

Dessa forma, conseguimos calcular

α 1 = a 12 + a 13 a 11 = - 1 10 < 1

α 2 = a 21 + a 23 a 22 = - 1 - 2 10 < 1

α 3 = - 2 10 < 1

Como todos os   α n   são menores do que 1, então o critério das linhas é atendido e a convergência é garantida. Show de bola!?

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)