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Exercícios Resolvidos de O efeito da adição de zeros e polos na função de transferência

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Exercício 41235678

Enunciado

Avalie se é possível aproximar a função de transferência abaixo a uma função de transferência de segunda ordem. Se for possível, determine o overshoot e o tempo de assentamento (estabilização) para uma faixa de 5 % .

G s = 7,5 s + 20 ( s 2 + 0,6 s + 1 )

Passo 1

Primeiramente precisamos checar se é possível ou não fazer a aproximação. Como temos três polos, precisamos que um dos polos esteja muito mais afastado da origem que os outros dois. Os três polos são:

s = - 0,3 + 1,9 i

s = - 0 , 3 - 1,9 i

s = - 20

Como podemos ver o polo em - 20 está muito mais afastado que os outros dois. Ele é mais de seiscentas vezes maior que a parte real dos outros dois polos, o que faz com que ele seja uma ótima opção de cancelamento.

Sendo assim, a proximação é válida, e a função aproximada será:

G s = 7,5 s 2 + 0,6 s + 1

Passo 2

Precisamos então calcular o overshoot e o tempo de assentamento. Para isso precisamos determinar a constante de tempo, τ , e o fator de amortecimento, ζ da função de segunda ordem aproximada.

G s = 7,5 s 2 + 0,6 s + 6

Precisamos comparar essa função de transferência com a função de transferência padrão de segunda ordem:

G s = K τ 2 + 2 ζ τ s + 1

Sendo assim:

K = 7,5

τ = 1

ζ = 0,3

Passo 3

O cálculo do overshoot é dado pela fórmula abaixo:

O S =   e - π ζ 1 - ζ 2

Usando ζ = 0,3 teremos:

O S = 0,37

E tempo de assentamento para uma faixa de 5 % pode ser calculado pela fórmula abaixo:

t s = 3 τ ζ

Com τ = 1 e ζ = 0,3 :

t s = 10

Resposta

Aproximação é válida.

G s = 7,5 s 2 + 0,6 s + 6

O S = 0,37

t s = 10