Exercícios Resolvidos de O efeito da adição de zeros e polos na função de transferência

Enunciado

Avalie se é possível aproximar a função de transferência abaixo a uma função de transferência de segunda ordem. Se for possível, determine tipo de amortecimento e o tempo de assentamento (estabilização) para uma faixa de para a função de segunda ordem aproximada.

Passo 1

Primeiramente precisamos checar se é possível ou não fazer a aproximação. Nesse casos temos um polo muito perto do nosso zero, então vamos expandir a função de transferência em suas frações parciais:

Usando o método de cálculo dos coeficientes das frações parciais:

Podemos ver que o coeficiente , que é relativo ao polo mais perto do zero, , é muito menor que os outros dois coeficientes. Portanto, a aproximação de cancelamento polo-zero pode ser feita.

Sendo assim, a proximação é válida, e a função aproximada será:

Passo 2

Precisamos determinar o tipo de amortecimento e o tempo de assentamento da resposta aproximada. Para isso precisamos do tempo de amortecimento, , e contstante de tempo, . Para isso, vamos primeiro expandir a nossa função de transferência:

Precisamos comparar essa função de transferência com a função de transferência padrão de segunda ordem:

Então precisamos fazer umas manipulações:

Sendo assim:

Passo 3

Para determinar o tipo de assentamento, podemos usar o valor de e a figura abaixo:

Como o nosso fator de amortecimento está entre 0 e 1, a nossa resposta será subamorticida.

O tempo de assentamento para uma faixa de pode ser calculado pela fórmula abaixo:

Com e :

Resposta

Aproximação é válida.

Resposta subamortecida.