UTFPR, Cornélio Procópio, Cálculo Avançado, Listas - Prof. Cláudia B. Medeiros - Lista 3, Questão 1a
Calcule as raízes dos números complexos dados:
a)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu um número complexo elevado a , então nós precisamos calcular a raiz cúbica desse número complexo. Mas como a gente calcular a raiz de um número complexo?
Geralmente, para tirar a raiz desses números, nós os escrevemos na forma trigonométrica, porque, (acredite) vai ser mais fácil que na forma algébrica. Lembra que o número complexo é dado na forma ? Na forma trigonométrica ele vai ser dado por:
E as raízes de índice de vão ser dadas pela fórmula de Moivre:
Haha, calma! O que nós vamos fazer é escrever o número complexo na forma trigonométrica e depois aplicar a fórmula de Moivre. Vai ser tranquilo, vamos lá!
Passo 2
Pra colocar o número na forma trigonométrica, vamos primeiro calcular seu módulo:
O nosso é , então e . Substituindo, temos:
Para obter o ângulo , nós podemos usar:
Então,
Para qual ângulo o seno e o cosseno nos fornecem esse valor? Para , certo? Então:
Passo 3
Agora temos todas as informações, basta aplicar na fórmula para (porque a raiz é cúbica):
Vamos obter, então, as raízes e para .
Para :
Para :
Para :
Prontinho, galera! Até a próxima! 😉