Exercícios Resolvidos de Operações com Números Complexos

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Enunciado

Qual será o valor de 1 + i + i 2 + … + i n ?

Dado que n = 4 k + 1 e k ∈ Z

Passo 1

Já sabemos que

i 0 = 1     ;   i 1 = i   ;     i 2 =   - 1     ;     i 3 = - i   ;   i 4 = 1

Depois disso, vimos que a gente repete a mesma sequência de números do   i 1   a o   i 4

Se somarmos esses valores, teremos

i + i 2 + i 3 + i 4 = i - 1 - i + 1 = 0

Isso mesmo, de 4 em 4 essa soma vai dando zero.

O último elemento dessa sequência é

i 4 k + 1 = i 4 k   .     i = 1 k   .     i  

Maaas, pera aí

Vamos refletir,

1 k = 1

Ou seja,

O último elemento da série vai ser o   i

Beleza, mas no que isso adianta a gente?

Passo 2

A nossa série está da seguinte forma

1 + i + i 2 + … + i + i 2 + i 3 + i 4 + i

No entanto toda essa parte aqui, se anula

Portanto, toda essa soma será igual ao que sobrou ali, portanto

1 + i + i 2 + … + i n = 1 + i

Resposta

1 + i + i 2 + … + i n = 1 + i