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Exercícios Resolvidos de Princípio da Indução Finita

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Exercício 412356789

Enunciado

O que está errado na seguinte demonstração:

Proposição: com a ≠ 0 , a n - 1 = 1 , para todo n natural.

Demonstração: a 1 - 1 = 1 vale sempre.

Assumindo a k - 1 = 1 , temos a k = a k a k - 2 a k - 2 = a k - 1 a a k - 2 a k - 2 = a k - 1 a k - 1 a k - 2 = 1.1 1 = 1

∎

Passo 1

Cara, de cara a gente já sabe que essa proposição é doida! Anjo, a 2 é igual a a 2 , não igual a 1 , carambolas! (A não ser que a = 1 )

Bora começar a julgar essa argumentação! Primeira coisa a ser dita foi:

a 1 - 1 = 1     v a l e   s e m p r e

Isso é verdade! Então isso não é o erro.

Passo 2

A próxima coisa dita foi:

A s s u m i n d o   a k - 1 = 1

Opa! Isso não está correto! Perceba que o argumentador está usando (erroneamente) o PIF versão 1 . Se liga nele:

“Ah, mas ele provou que funciona para n 0 = 1 ”

É verdade, mas veja a nossa hipótese indutiva, a SEGUNDA condição: tem que valer PARA TODO k ≥ n 0 . No nosso caso, o n 0 = 1 .

Então, tem que valer aquela P ( k ) , para todo k ≥ 1 .

E NÃO VALE!!! Perceba:

a 2 - 1 = a ≠ 1

Logo, o erro está na hipótese de indução.

Resposta

O erro está na hipótese de indução.