Usando o Princípio da Indução Finita, prove que:
Passo 1
Bom, aqui nem tem muito pra onde correr, o enunciado já diz para usarmos o PIF, então vamos à luta!
Para provarmos que isso é verdade, precisamos de um caso base que seja verdadeiro.
O teorema diz o seguinte,
Note que o teorema me dá duas afirmações, então vamos usar dois passos para provar a igualdade acima.
Então primeiro vamos mostrar que é verdadeira para um certo . O é o nosso primeiro termo, no caso vamos escolher .
Lembrando que neste caso:
Então
Então é verdadeira.
Passo 2
Vamos agora atacar a segunda condição. Assumindo que a relação seja válida para algum , essa é a nossa hipótese indutiva :
Queremos encontrar:
Verificaremos se a relação anterior é válida para :
Finalmente:
Então é verdadeira.
Portanto, é verdadeira para todo .
Passo 3
Se liga nessa próxima:
Traduzindo isso para números:
“Ah, por que você colocou e não ?”
Porque se a gente colocar , você não consegue chegar no número , tendo em vista que os naturais começam no . A gente precisa conseguir alcançar cada número dessa soma através de .
Vou colocar aqui novamente o PIF, pra clarear sua mente e entranhar no seu sangue:
Lembrando que neste caso:
Vamos ao caso base, escolhendo :
E isso é verdade.
Passo 4
Agora vamos atacar a segunda condição. Supondo que a relação seja válida para algum , que é a nossa hipótese indutiva , temos:
Sabendo que é válida, queremos que também seja, isto é:
Agora vamos escrever todo somatório para . Mas antes repara que aqui estamos tratando apenas de números ímpares, então eles andam de em . Então quando eu adicionar mais um termo, eu terei que somar dois. Deste modo, o final do meu somatório ficaria assim,
Entendido isso, vamos escrever toda soma para . Repara como ficou meu último termo,
Ajeitando essa equação ficamos com,
E não é que ? Tô chocadaaaa!!! Chegamos então ao que queríamos:
Resposta
Demonstração por PIF