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Exercícios Resolvidos de Princípio da Indução Finita

Ver Teoria
Exercício 812345679

Enunciado

[UFABC] Cálculo 1 - Lista de Exercícios 7

Prove por indução as seguintes propriedades do somatório:

b)

∑ k = 1 n c ⋅ a k = c ⋅ ∑ k = 1 n a k

(homogeneidade)

Passo 1

Galerinha, mais uma questão para provar uma propriedade do somatório! Vamos comigo que vai ser moleza!

Nosso problema começa com:

∑ k = 1 n c ⋅ a k

Vamos começar a substituir o valor de k e ir somando desde 1 até o valor de n :

∑ k = 1 n c ⋅ a k = c ⋅ a 1 + c ⋅ a 2 + c ⋅ a 3 + c ⋅ a 4 + … + c ⋅ a n

Passo 2

Percebeu que o valor de c está sempre multiplicando cada parcela? Então podemos colocar em evidência, certo?

∑ k = 1 n c ⋅ a k = c ⋅ ( a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + … + a n )

Olhando com carinho para a parcela dentro dos parênteses, temos a seguinte soma:

( a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + … + a n )

Estamos somando parcelas de a com o índice variando de 1 até n , podemos reescrever como um somatório de a variando o índice de 1 até n :

a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + … + a n = ∑ k = 1 n a k

Show de bola!

Passo 3

E voltando ao nosso problema inicial que estávamos calculando:

∑ k = 1 n c ⋅ a k = c ⋅ ( a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + … + a n )

Fazendo a substituição dessa relação do somatório que encontramos =:

∑ k = 1 n c ⋅ a k = c ⋅ ∑ k = 1 n a k

UAU, já chegamos no final!!! Dancinha da vitória!

Valeu, galera, vejo vocês na próxima!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)