Teorema da Probabilidade Total
Teoria
O Teorema da Probabilidade Total é um teorema fundamental dentro do Cálculo de Probabilidades, que relaciona probabilidades condicionais com probabilidades marginais.
Vem comigo aprender sobre esse teorema!
A definição formal do teorema da probabilidade total é a seguinte.
Seja
Seja sincero, você entendeu alguma coisa? hahaha
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Calma, vou te explicar de onde veio isso aí.
Vamos supor que temos um espaço amostral

Agora considere um evento qualquer

Presta atenção nesses eventos aqui:
Note que eles também são mutuamente exclusivos, e assim sendo, podemos escrever o evento
Escrito dessa forma, a probabilidade de
Podemos substituir cada uma dessas probabilidades da interseção pela probabilidade condicional:
Sendo assim:
E isso, podemos escrever como um somatório:
E é daí que tiramos o Teorema da Probabilidade Total. Fez mais sentido agora né?
Vamos fazer um exemplo pra ficar ainda mais claro.
Um velejador experiente tem 50% de chance de vencer uma regata sob vento forte, porém sem a presença de vento forte, suas chances caem para 25%. As autoridades do serviço de meteorologia da cidade que sediará a próxima regata estimam em 30% a probabilidade de que ocorra vento forte durante a competição. Sabendo disso, qual a probabilidade do velejador ser o vencedor ?
Vamos fazer um passo a passo para resolver essa questão.
PASSO 1
Definir os eventos:
IMPORTANTE: Note que os eventos
PASSO 2
Anotar as probabilidades dadas no enunciado:
PASSO 3
Temos
E aí? Acha que foi?
Vamos treinar mais um pouco com os exercícios, beleza?
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
UFRJ, ProbEst, P1/2014.1, 1
Três pesquisadores pensam, de forma independente, na solução de um problema. Pela experiência e conhecimento de cada pesquisador sabe-se que as probabilidades de encontrar a solução são de para A, de para B e de para C . Calcule a probabilidade:
- de que o problema seja resolvido;
- de pelo menos dois dos três pesquisadores resolverem o problema;
- condicional de B resolver o problema dado que este foi resolvido por pelo menos dois pesquisadores.
Passo 1
Inicialmente, vamos nomear os nossos eventos.
Anotamos também os dados do enunciado:
Passo 2
(a)
Vamos ter que calcular a prob. do problema ser resolvido,
Com as informações que temos no enunciado iremos utilizar o caminho do complementar para resolver essa questão. Como assim? Vou te explicar agora!!
A gente sabe que a prob. do problema ser resolvido é 1 menos a prob. de ele não ser resolvido.
Concorda?!
Fazemos dessa forma porque conseguimos calcular a probabilidade de nem o , nem o e nem o resolverem a questão... Vamos ver como vai funcionar?!
Passo 3
A prob. é a prob. de nem o , nem o e nem o resolverem a questão;
Temos que
e
Assim, vamos ter que será a interseção desses três:
Beleza?!
Passo 4
Com isso podemos substituir e encontrar o que queremos.
Então a probabilidade do problema ser resolvido é de 60%.
Passo 5
(b)
Bom, vamos calcular agora .
Teremos os seguintes casos de pelo menos dois dentre os três resolverem a questão:
Logo, A prob. de pelo menos dois dentre os três resolverem a questão será:
Como os eventos são mutuamente exclusivos (não haverá interseção entre eles pois as pesquisas são independentes) é só calcular cada interseção e somar.
Passo 6
Calculando cada parcela:
Então:
Passo 7
(c)
Aqui queremos calcular a condicional de B resolver o problema dado que este foi resolvido por pelo menos dois pesquisadores. Ou seja, vamos utilizar a probabilidade condicional rs.
Queremos .
O valor de nós já temos.
Beleza?!
Passo 8
Basta calcularmos .
Vimos há alguns passos atrás que
Aqui só vamos pegar aqueles que contenham B, beleza?!
Então,
Concorda? A probabilidade de ser um dos que resolveu o problema é isso aí mesmo num é? Beleza então.
Usando os valores que a gente já calculou no passo 6.
Passo 9
Agora é só substituir na fórmula da prob. Condicional:
Resposta
Exercício Resolvido #2
UERJ-L1-PROF FABIANO-14
Cada uma de 3 caixas possui 2 gavetas. A primeira caixa contém uma moeda de ouro em cada gaveta, a segunda caixa contém 2 moedas de prata em cada gaveta, e a terceira caixa, uma moeda de ouro em uma gaveta, e uma de prata na outra. Uma caixa é escolhida ao acaso; uma de suas gavetas é escolhida ao acaso e aberta, encontrando-se uma moeda de ouro. Qual a probabilidade que a moeda da outra gaveta seja também de ouro?
Passo 1
Vamos chamar de:
Passo 2
Usando probabilidade condicional a gente sabe que a probabilidade da segunda moeda ser de ouro sabendo que a primeira já foi de ouro é dada pela fórmula:
E é exatamente isso que a gente precisa calcular.
Passo 3
Vamos por partes.
é a probabilidade da primeira e da segunda moeda serem de ouro, certo?
Só que isso só acontece se escolherem a caixa I, concorda?
Então:
Passo 4
Agora temos que calcular a probabilidade da primeira moeda ser de ouro.
Pra isso, vamos usar o teorema da probabilidade total.
Probabilidade da primeira moeda ser de ouro é a prob. da primeira ser de ouro sabendo que escolhemos a caixa I vezes a probabilidade de escolhermos a caixa I, mais a prob. da primeira ser de ouro sabendo que escolhemos a caixa II vezes a prob. de escolhermos a caixa II e a mesma coisa pra III.
Como todas as moedas da caixa I são de ouro
Como na II não temos moedas de ouro
E na III temos uma de ouro
E a probabilidade de ser escolher qualquer caixa é:
Passo 5
Agora só substituir na fórmula:
E:
Que era exatamente o que a gente queria.
Resposta
Exercício Resolvido #3
Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006,44-125
Os colégios A, B e C têm as seguintes porcentagens de rapazes, respectivamente: 40%, 20% e 10%. Um desses colégios é selecionado ao acaso e oito alunos são escolhidos, com reposição. Se o resultado for RRRMMMMM (R para rapaz e M para moça), qual é a probabilidade de ter sido selecionado o colégio C?
Passo 1
Primeira coisa que iremos fazer é anotar os dados do enunciado
Colégios
- A : 40% rapazes 60% moças (Utilizamos o complementar)
- B: 20% rapazes 80% moças
- C: 10% rapazes 90% moças.
Evento D: Oito alunos são escolhidos ao acaso com reposição, sendo o resultado:
RRRMMMMM
Quero saber: Qual a probabilidade de ter sido selecionado o colégio C, dado esse resultado o sorteio?
Ou seja, quero saber
Passo 2
Sabemos que:
Precisamos então calcular:
e
Passo 3
Cálculo de
Queremos saber a probabilidade de ter retirado três rapazes e cinco moças na escola C.
Cálculo de P(D)
Vamos utilizar o Teorema da Probabilidade Total:
E quem será
É a probabilidade de ter sorteado três rapazes e cinco moças na escola A.
E ?
Assim:
Substituindo teremos:
Resposta
0,072
Exercício Resolvido #4
UFRJ-P1-2012.2.-1(b)(c)
Para competir em uma certa regata as embarcações podem velejar com no máximo 4 tripulantes. Os tripulantes de cada embarcação são inscritos previamente e não podem ser alterados mais tarde. A embarcação Chez Moi, participante da regata, inscreveu Alberto, Bernardo, Carlos e Diogo. Carlos e Diogo confirmaram a presença na regata com probabilidade 100%. A probabilidade de Alberto comparecer à regata é 50%, enquanto que a de Bernardo, é 70%. A decisão de comparecer ou não por parte de Alberto não influencia a decisão de comparecer ou não por parte de Bernardo e vice versa. Note que o fato do número de velejadores no barco poder ser igual a 2, 3 ou 4 caracteriza uma partição do espaço amostral. Com a tripulação completa, a embarcação Chez Moi tem 80% de probabilidade de vencer a regata; com apenas Carlos e Diogo, esta probabilidade cai para 20%; e com três tripulantes a probabilidade de vencer é de 50%. Pede-se calcular a probabilidade de que:
- pelo menos um dos velejadores, Alberto ou Bernardo, compareçam à regata;
- a embarcação Chez Moi vença a regata;
- pelo menos um dos velejadores, Alberto ou Bernardo, tenham comparecido à regata condicionado ao fato de que a embarcação Chez Moi venceu a regata. Compare suas respostas dadas nos itens (b) e (c). A probabilidade aumentou ou diminuiu? Por que?
Passo 1
(a)
Vamos chamar de:
A gente sabe que:
A probabilidade de pelo menos um deles comparecer é dada por:
Passo 2
(b)
Chamando de:
A gente precisa calcular .
Existem 4 situações pra participação da regata.
Passo 3
Pra calcular vamos usar o teorema da probabilidade total, levando em consideração as 4 situações discritas.
Se você ler com atenção o enunciado vai perceber que temos todos esses valores, lembrando que e são independentes e que e .
Passo 4
Do enunciado, a gente tira que:
Substituindo os valores:
Passo 5
(c)
Agora a gente tem que calcular .
Vamos usar prob. Condicional aqui.
Sendo que:
E:
É a probabilidade do barco vencer a regata e Bernardo ou Alberto estarem presentes, que foram calculadas como parcelas na hora que a gente calculou a probabilidade total do barco vencer a regata.
Substituindo os valores:
Resposta
Exercício Resolvido #5
Elaboração Própria
Um modelo de motor é fabricado por 3 fábricas: A, B e C. Sabe-se que A produz o dobro de motores que B e que B e C produzem o mesmo número de motores. Sabe-se ainda que 2% das dos motores produzidos por A e por B são defeituosos, enquanto que 4% dos produzidos por C são defeituosos. Todos os motores produzidos são misturados e colocados em um depósito. Se do depósito for retirada um motor ao acaso, qual a probabilidade de que ele seja defeituoso?
Passo 1
Vamos começar nomeando alguns eventos para nos organizarmos melhor:
É falado que A produz o dobro de motores que B produz, e B por outro lado produz o mesmo número de motores que C. Então podemos afirmar que A também possui o dobro de C. Então proporcionalmente podemos dizer:
Também é dado pra gente as probabilidades de defeito para cada empresa, que nada mais são que probabilidades condicionais, certo? Afinal, estão dando uma probabilidade de defeito “dado que o motor veio de tal empresa...”. Elas são:
Passo 2
Ok! Mas a questão quer saber a probabilidade da amostra sorteada ser defeituosa. Pelo teorema da probabilidade total calculamos essa probabilidade fazendo:
Aqui também podemos lembrar dos significados da multiplicação e da adição de probabilidades! Quando multiplicamos estamos falando de um evento E outro acontecerem, e quando somamos estamos falando de um evento OU outro acontecerem. E para ter a probabilidade do motor ser defeituoso é isso aí que escrevemos né?
“A probabilidade do motor vir de A E ser defeituoso (sabendo que veio de A), OU a probabilidade do motor vir de B E ser defeituoso (sabendo que veio de B), OU a probabilidade de vir de C E ser defeituoso (sabendo que veio de C).”
Dessa forma estamos incluindo todas as possíveis origens de um motor defeituoso!
Agora voltando a nossa equação, vamos substuitir com os valores achados no Passo 1: