Teoria

O Teorema da Probabilidade Total é um teorema fundamental dentro do Cálculo de Probabilidades, que relaciona probabilidades condicionais com probabilidades marginais.

Vem comigo aprender sobre esse teorema!

A definição formal do teorema da probabilidade total é a seguinte.

Seja um evento do espaço amostral , e um conjunto de eventos distintos cuja união é todo o espaço amostral, ou seja é uma partição do espaço amostral . A probabilidade do evento pode ser calculada como segue:

Seja sincero, você entendeu alguma coisa? hahaha

Calma, vou te explicar de onde veio isso aí.

Vamos supor que temos um espaço amostral , que é formado pela união dos eventos: , , e , todos mutuamente exclusivos (interseção vazia), como mostra a figura:

Espaço amostral e suas partições
Espaço amostral e suas partições

Agora considere um evento qualquer desse :

Espaço amostral e evento B
Espaço amostral e evento B

Presta atenção nesses eventos aqui: , , e .

Note que eles também são mutuamente exclusivos, e assim sendo, podemos escrever o evento como a uni dessas interseções:

Escrito dessa forma, a probabilidade de será calculada da seguinte maneira:

Podemos substituir cada uma dessas probabilidades da interseção pela probabilidade condicional:

Sendo assim:

E isso, podemos escrever como um somatório:

E é daí que tiramos o Teorema da Probabilidade Total. Fez mais sentido agora né?

Vamos fazer um exemplo pra ficar ainda mais claro.

Um velejador experiente tem 50% de chance de vencer uma regata sob vento forte, porém sem a presença de vento forte, suas chances caem para 25%. As autoridades do serviço de meteorologia da cidade que sediará a próxima regata estimam em 30% a probabilidade de que ocorra vento forte durante a competição. Sabendo disso, qual a probabilidade do velejador ser o vencedor ?

Vamos fazer um passo a passo para resolver essa questão.

PASSO 1

Definir os eventos:

ã

IMPORTANTE: Note que os eventos e são uma partição do espaço amostral.

PASSO 2

Anotar as probabilidades dadas no enunciado:

ã
ã

PASSO 3

Temos e eventos que formam uma partição do espaço amostral, temos as probabilidade desses eventos ocorrerem e temos também a probabilidade condicional do velejador ganhar dado que esses eventos ocorreram, então podemos aplicar o teorema da probabilidade total:

E aí? Acha que foi?

Vamos treinar mais um pouco com os exercícios, beleza?

Exercícios de Livros Relacionados