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Medidas de Dispersão para V.A. Multidimensionais

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Teoria

Medidas de Dispersão de uma V.a. Multidimensional Discreta

Agora vamos ver como ficam aqueles valores que a gente conhece pra v.a. pra variáveis bidimensionais. Relaxa aí que são muitas fórmulas, não precisa se assustar, nossa tabelinha vai ajudar muito.

Por exemplo na tabela abaixo onde relacionamos o número X de defeitos de uma pessoa com o número Y de qualidades:

E ( X ) e E ( Y ) continuam sendo calculadas da mesma forma.

A gente iria ter:

E X = 0 × 0,1 + 1 × 0,3 + 2 × 0,6 = 1,5

E Y = 0 × 0,14 + 1 × 0,34 + 2 × 0,28 + 3 × 0,24 = 1,62

Mas aí surgirá E X , Y → esperança da variável bidimensional, que será calculada assim:

E X , Y = 0 × 0 × 0,00 + 0 × 1 × 0,05 + 0 × 2 × 0,04 + 0 × 3 × 0,01 + 1 × 0 × 0,08 +

1 × 1 × 0,15 + 1 × 2 × 0,04 + … + 2 × 3 × 0,20 = 2,6

Pegou ? Dá uma olhada na nossa tabela de novo pra você pegar bem o raciocínio. Fui multiplicando todos os valores x i e y i pelos valores de dentro da tabela.

Sabendo isso, você está preparado para ser apresentado a mais fórmulas

Covariância → C o v ( X , Y ) . Existem 2 fórmulas possíveis.

C o v X , Y = E X , Y - E X . E ( Y )

V a r X + Y = V a r X + V a r Y + 2 . C o v ( X , Y )

Nota: Se X e Y são independentes então C o v X , Y = 0

Medidas de Dispersão de uma V.a. Multidimensional Contínua

Pra fechar, adivinha? Faltou aprender a calcular a esperança e a variância dessas variáveis bidimensionais contínuas.

E X = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x . f x , y   d x d y

E Y = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ y . f x , y   d x d y

V a r X = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x 2 . f x , y   d x d y - E X 2

V a r Y = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ y 2 . f x , y   d x d y - E Y 2

E a esperança bidimensional contínua vai ser:

E X Y = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x y . f x , y   d x d y

Reparou que lá no caso discreto a gente denotou a esperança bidimensional como E X , Y e agora como E ( X Y ) ? Pois é, isso não faz diferença! Só fica mais claro para a gente diferenciar o caso discreto do contínuo. Fica tranquilo(a) que significam a mesma coisa.

Lembrando que o desvio padrão ainda é a raiz quadrada a variância, nada mudou!

Existem também fórmulas para esperança condicional e variância condicional.

A esperança condicional acontece sempre que for pedido “qual a esperança de Y , dado que X = x ...”:

E Y X = x = ∫ - ∞ ∞ y . f y x   d y

Então precisamos conhecer nossa função de densidade condicional para calculá-la, que vimos no tópico passado!

E a variância condicional quando for pedido a variância de Y , dado que X = x :

V a r Y X = x = E Y 2 X = x - E Y X = x 2

Repara que a variância condicional segue o mesmo padrão de todas as fórmulas de variância que vimos! É a esperança da variável ao quadrado menos a esperança ao quadrado dessa mesma variável. Mas como estamos no caso condicional, as esperanças da equação passam a ser as condicionais também!

O que mudou, é que agora vou te apresentar duas novas medidas, ansioso? Haha, nada demais!

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 206-03

Considere a distribuição conjunta de X e Y, conhecida, dada na tabela abaixo.

Considerando X e Y independentes.

b) Calcule as médias de X, Y e XY

d) Calcule a variância de X,Y e X+Y

Passo 1

Sabemos que

E X = ∑ x . P ( X = x )

Portanto

E X = ∑ i = - 1 1 x i . P X = x i = - 1 . 1 2 + 0 . 0 + 1 . 1 2 = 0

E Y = ∑ j = - 1 1 y j . P Y = y j = - 1 . 1 6 + 0 . 1 3 + 1 . 1 2 = 1 3

Passo 2

Para calcular E(XY) usaremos

E X Y = ∑ x i y j P ( X = x i , Y = y j )

E X Y = - 1 - 1 1 12 + - 1 0 0 + - 1 1 1 12 + 0 - 1 1 6 + 0 0 0 + 0 1 1 6 + 1 - 1 1 4 + 1 0 0 + 1 1 1 4 = 0

Passo 3

Para o cálculo da Var(X) precisamos lembrar da seguinte fórmula:

V a r X = E X 2 - E X 2

Portanto precisamos calcular E ( X 2 )

E X 2 = - 1 2 1 2 + 0 2 0 + 1 2 1 2 = 1

E Y 2 = - 1 2 1 6 + 0 2 1 3 + 1 2 1 2 = 2 3

Substituindo na fórmula teremos

V a r X = 1 - 0 2 = 1

V a r Y = 2 3 - 1 3 2 = 5 9

Passo 4

Para calcular Var(X+Y) usaremos

V a r X + Y = V a r X + V a r Y + 2 . C o v ( X , Y )

C o v X , Y = E X , Y - E X . E ( Y )

Vamos lá!

C o v X , Y = 0 - 0.1 3 = 0

V a r X + Y = 1 + 5 9 + 2 × 0 = 14 9

Resposta

E X = 0

E Y = 1 3

E X Y = 0

V a r X = 1

V a r Y = 5 9

V a r X + Y = 14 9

Exercício Resolvido #2

FONTE -08

Numa urna têm-se cinco bolas marcadas com os seguintes números: -1, 0, 0, 0, 1. Retiram-se três bolas, simultaneamente: X indica a soma dos números extraídos e Y o maior valor da trinca. Calcule:

b) E(X) e Var(X)

c) E(X,Y)

Passo 1

Montamos a tabela de distribuição em um exercício anterior lembram? (Exercício de Fixação 2 – Tipo Introdução à Probabilidade Conjunta):

Y\X

-1

0

1

P(Y=y)

0

0,3

0,1

0

0,4

1

0

0,3

0,3

0,6

P(X=x)

0,3

0,4

0,3

Vamos calcular agora E(X)

E X = ∑ x . P X = x

E X = - 1 . 0,3 + 0 0,4 + 1 0,3 = 0

Passo 2

Calculando Var(X)

V a r X = E X 2 - E X 2

Para isso precisamos calcular E X 2

E X 2 = - 1 2 0,3 + 0 2 0,4 + 1 2 0,3 = 0,6

Portanto

V a r X = 0,6 - 0 2 = 0,6  

Passo 3

Agora precisamos calcular E(XY). Pela tabela é fácil, saca só:

E X , Y = 0 - 1 0,3 + 0 0 0,1 + 0 1 0 + 1 - 1 0 + 1 0 0,3 + 1 1 0,3 = 0,3

Resposta

E X = 0

V a r X = 0,6

E X , Y = 0,3

Exercício Resolvido #3

PUCRIO-P2-2014.2-5

Seja " X " e " Y " duas variáveis aleatórias contínuas, das quais se conhece:

f x , y = x . y 3 + x 2   ,     o n d e   0 < x ≤ 1   e   0 ≤ y ≤ 2

f x ( x ) = x 2 + 2 . x 3       ,     o n d e   0 < x ≤ 1

f y y = 1 3 + y 6       ,     o n d e   0 ≤ y ≤ 2

Pede-se:

  1. Calcule a média condicional de X dado Y = y . Se y = 1,3 , qual a média condicional de X dado Y = 1,3 ?
  2. Calcule a variância condicional de X dado Y = y . Se y = 1,3 , qual a variância condicional de X dado Y = 1,3 ?

Passo 1

(a)

Para calcular a condicional de X , dado Y = y , usaremos a fórmula:

f X | Y x y = f x , y f y y

Já conhecemos tudo:

f x , y = x . y 3 + x 2

f y y = 1 3 + y 6

Então, substituindo:

f X | Y x y = x . y 3 + x 2 1 3 + y 6

f X | Y x y = 3 x 2 + x y 3 2 + y 6

f X | Y x y = 3 x 2 + x y 3 × 6 2 + y

f X | Y x y = 6 x 2 + 2 x y 2 + y

Passo 2

Agora para calcular a média condicional de X , dado Y = y , usamos:

E X Y = y = ∫ 0 1 x . f X | Y x y   d x

Note que a integral vai de 0 a 1 pois é o intervalo em que vale a variável x . Assim:

E X Y = y = ∫ 0 1 x . 6 x 2 + 2 x y 2 + y   d x

= 1 2 + y . ∫ 0 1 6 x 3 + 2 x 2 y   d x

= 1 2 + y . 6 x 4 4 + 2 y x 3 3 0 1

= 1 2 + y × 3 2 + 2 y 3

= 1 2 + y × 9 + 4 y 6

= 9 + 4 y 12 + 6 y

Passo 3

Pra calcular a média condicional com Y = 1,3 é só substituir ali em cima y = 1,3 .

Ficaria...

E X Y = 1,3 = 9 + 4 × 1,3 12 + 6 × 1,3

= 0,717

Passo 4

(b)

Pra calcular a variância condicional de X , dado Y = y , vamos usar primeiro a relação:

V a r X Y = y = E X 2 Y = y - E X Y = y 2

Então primeiro temos que calcular E X 2 Y = y .

E X 2 Y = y = ∫ 0 1 x ² . f x y   d x

Note a integral de 0 a 1 novamente aqui!

= ∫ 0 1 x ² . 6 x 2 + 2 x y 2 + y   d x

= 1 2 + y . ∫ 0 1 6 x 4 + 2 x 3 y   d x

= 1 2 + y . 6 x 5 5 + 2 y x 4 4 0 1

= 1 2 + y × 6 5 + 2 y 4

= 1 2 + y × 24 + 10 y 20

= 24 + 10 y 40 + 20 y

Dividindo tudo por 2:

E X 2 Y = y = 12 + 5 y 20 + 10 y

Passo 5

Mas calculamos lá em cima que

E X Y = y = 9 + 4 y 12 + 6 y

Certo? Substituindo, então, os valores que a gente agora já conhece.

V a r X Y = y = E X 2 Y = y - E X Y = y 2

V a r X Y = y = 12 + 5 y 20 + 10 y - 9 + 4 y 12 + 6 y 2

= 12 + 5 y 10 ( 2 + y ) - 9 + 4 y 6 ( 2 + y ) 2

= 12 + 5 y 10 ( 2 + y ) - 9 + 4 y 2 36 2 + y 2

O mmc dos denominadores é 180 2 + y 2 , então vamos escrever as duas frações com um denominador comum:

= 18 ( 12 + 5 y ) ( 2 + y ) 180 2 + y 2 - 5 9 + 4 y 2 180 2 + y 2

= 18 ( 5 y 2 + 22 y + 24 ) 180 2 + y 2 - 5 ( 16 y 2 + 72 y + 81 ) 180 2 + y 2

= 90 y 2 + 396 y + 432 - ( 80 y 2 + 360 y + 405 ) 180 2 + y 2

= 10 y 2 + 36 y + 27 180 2 + y 2

Ou então:

= 10 y 2 + 36 y + 27 180 ( y 2 + 4 y + 4 )

= 10 y 2 + 36 y + 27 180 y 2 + 720 y + 720

Portanto:

V a r X Y = y = 10 y 2 + 36 y + 27 180 y 2 + 720 y + 720

Passo 6

Agora pra calcular isso pra Y = 1,3 , é só substituir o valor:

V a r X Y = 1,3 = 10 × 1,3 2 + 36 × 1,3 + 27 180 × 1,3 2 + 720 × 1,3 + 720

= 90,7 1960,2 ≅ 0,046

Resposta

a   0,717

b   0,046

Exercício Resolvido #4

PUCRIO-P2-2013.2-5

Sejam X e Y v.a. contínuas com densidade conjunta:

f x , y = - 3 4 y + 2 x y       ,     o n d e   0 ≤ x ≤ 2   e   0 ≤ y ≤ 1

Dados:

Marginal de X : f x = x - 1 2

Marginal de Y : f y = 4 y - 3 2 y

Pede-se:

  1. Densidade condicional de Y dado X = x .
  2. Média condicional de Y   dado X = x , e calcule o valor quando x = 1,5 .
  3. Variância condicional de Y   dado X = x , e calcule o valor quando x = 1,5 .

Passo 1

(a)

Pra resolver cada um desses itens vai ser basicamente aplicar fórmula, então vamos lá.

Pra calcular a densidade condicional f Y X = x , vamos aplicar:

f Y X = x = f x , y f x

Os dois já são dados do problema, só fazer conta.

Passo 2

Vamos as contas...

= - 3 4 y + 2 x y x - 1 2

= - 3 4 y + 2 x y 2 x - 1 2

= 2 × - 3 4 y + 2 x y 2 x - 1

= - 6 4 y + 4 x y 2 x - 1  

= - 6 y + 16 x y 4 2 x - 1

= - 3 y + 8 x y 2 2 x - 1  

= - 3 y + 8 x y 4 x - 2

Tá bom por aí já.

Passo 3

(b)

Agora a fórmula é:

E Y X = x = ∫ 0 1 y . f ( Y | X = x )   d y

De 0 a 1 porque esses são os limites de y do enunciado.

Esse valor de dentro da integral foi o que a gente usou no item anterior.

= ∫ 0 1 y . - 3 y + 8 x y 4 x - 2   d y

= 1 4 x - 2 ∫ 0 1 - 3 y 3 2 + 8 x y ² d y

Passo 4

Vamos integrar...

∫ 0 1 - 3 y 3 2 + 8 x y 2 d y =

= - 3 × 2 5 y 5 2 + 8 x 3 y 3 0 1

= - 6 5 + 8 x 3

E Y X = x = - 6 5 + 8 x 3 4 x - 2

Não pode esquecer desse denominador aí que eu tinha tirado da integral. Vou simplificar.

= - 3 × 6 + 5 × 8 x 15 4 x - 2

= - 18 + 40 x 60 x - 30

= 20 x - 9 30 x - 15

Passo 5

Agora podemos calcular pra quando x = 1,5 .

E Y X = 1,5 = 20 × 1,5 - 9 30 × 1,5 - 15

= 0,7

Passo 6

(c)

A fórmula vai ser:

V a r Y X = x = E Y 2 X = x - E Y X = x 2

Guarda isso.. vamos fazer parte por parte... o segundo valor ali que a gente precisa, a gente tem do item anterior. Vamos calcular então pela fórmula, o primeiro.

E Y 2 X = x = ∫ 0 1 y ² . f Y X = x d y

Bem parecido com o item anterior, só que é ao quadrado ali...

Fica assim:

= ∫ 0 1 y ² . - 3 y + 8 x y 4 x - 2   d y

Passo 7

Vamos resolver a integral...

= ∫ 0 1 y ² . - 3 y + 8 x y 4 x - 2   d y

= 1 4 x - 2 . ∫ 0 1 - 3 y 5 2 + 8 x y 3   d y

Vamos guardar essa parte de fora e focar na integral...

= - 3 × 2 7 y 7 2 + 8 x 4 y 4 0 1

= - 6 7 + 2 x

= - 6 + 14 x 7

Juntando tudo:

= - 6 + 14 x 7 4 x - 2

= - 6 + 14 x 28 x - 14

Simplificando por dois..

E Y 2 X = x = 7 x - 3 14 x - 7

Passo 8

Agora joga tudo naquela primeira fórmula lá:

V a r Y X = x = E Y 2 X = x - E Y X = x 2

V a r Y X = x = 7 x - 3 14 x - 7 - 20 x - 9 30 x - 15 2

Vou fazer uma parada pros denominadores ficarem iguais... vou dividir toda a galera da primeira parte por 14 e geral da segunda por 30 .

= 1 2 x - 3 14 x - 1 2 - 2 3 x - 3 10 x - 1 2 2

Agora fica melhor de simplificar, porque fica mais fácil juntar as coisas..

= 1 2 x - 3 14 × x - 1 2 - 2 3 x - 3 10 2 x - 1 2 2

Abrindo tudo...

= 1 2 x 2 - 3 14 x - 1 4 x + 3 28 - 4 9 x 2 + 4 10 x - 9 100 x 2 - x + 1 4

= 0,056 x 2 - 0,064 x + 0,017 x 2 - x + 0,25

É isso aí.

Passo 9

Pra fechar só substituir x = 1,5 nesse monstro aí.

= 0,047

Resposta

a   - 3 y + 8 x y 4 x - 2

b   20 x - 9 30 x - 15       ,     0,7

c   0,056 x 2 - 0,064 x + 0,017 x 2 - x + 0,25     ,     0,047

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