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Exercícios Resolvidos de Produto Escalar

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Exercício 61234578910

Enunciado

Considere as curvas C 1 e C 2 parametrizadas por r t = e t 2 - t 2 , sen ⁡ t π ,     t ∈ R e r s = s - 1 2 + 1 ,   s ,     s ∈ R , respectivamente. O ângulo formado pelos vetores tangentes às curvas C 1   e   C 2 no ponto P = ( 1,1 ) é:

  1. π
  2. π / 3
  3. z e r o
  4. π / 6
  5. π / 2

Passo 1

A dica é: Pediu ângulo entre vetores? A gente já tem que pensar logo na fórmula do produto escalar:

u ⋅ v = u v cos ⁡ θ ∴ θ = a r c o s u ⋅ v u v

Então o que a gente precisa é achar u e v , que no caso vão ser os vetores tangentes as curvas no ponto P , e substituir nessa fórmula.

Passo 2

Para achar o vetor tangente à curva C 1 no ponto dado, a gente precisa achar t correspondente a P = 1,1 . Para isso, vamos igualar a equação da curva ao P .

r t = 1,1

e t 2 - t 2 , sen ⁡ t π = 1,1

Ficamos com um sistema:

e t 2 - t 2 = 1

sen ⁡ t π = 1

Da primeira equação, temos:

t 2 - t 2 = 0 ∴ t t - 1 2 = 0

t = 1 2 ,     t = 0

Ih, qual escolher? Só ver qual satisfaz a segunda equação, que é o t = 1 2 .

Passo 3

Com o parâmetro t encontrado, vamos calcular o vetor tangente a r ( t ) :

r t = e t 2 - t 2 , sen ⁡ t π

r ' t = (   2 t - 1 2 e t 2 - t 2 , π cos ⁡ t π   )

Passo 4

Vamos achar r ' t para t = 1 2 :

r ' 1 2 = 2 ⋅ 1 2 -   1 2   e 1 2 2 - 1 4 , π cos ⁡ 1 2 π

r ' 1 2 = 1 2 e 0 , π 0 = ( 1 2 , 0 )

Passo 5

Agora a gente precisa encontrar o parâmetro s para P = 1,1 :

r s = s - 1 2 + 1 ,   s = 1,1

s - 1 2 + 1 = 1

s = 1

Da segunda equação a gente já tem s = 1 .

Passo 6

Calculando r ' s :

r ' s = 2 ( s - 1 ) ,   1

Passo 7

Substituindo s = 1   em r ( s ) :

r ' s = 2 ( s - 1 ) ,   1

r ' 1 = 0 ,   1

Passo 8

Show, agora que calculamos, vamos jogar tudo isso na nossa fórmula:

θ = a r c o s u ⋅ v u v

θ = a r c o s ( 1 2 , 0 ) ⋅ 0 ,   1 ( 1 2 ) 2 + 0 2   .   ( 0 ) 2 + 1 2

θ = a r c o s 1 2 . 0 + ( 0 . 1 ) 1 4   .   1

θ = a r c o s 0 1 2

θ = a r c o s   0

Se a gente agora voltar para c o s , teremos:

c o s ⁡ ( θ ) = 0

Ok, e quando que nós vamos ter c o s ⁡ ( θ ) = 0 ? Teremos justamente quando θ = π / 2

Mas vocês não concordam que se θ = 3 π / 2 ele também seria igual a 0?

Pois é, então, vamos deixar essa resposta um pouco mais completa?

cos ⁡ θ = 0 →   θ = k π + π 2   ,   k ∈   Z

Poxa, então nós temos infinitas respostas, e agora? Então, para a nossa sorte, ao analisar as alternativas, a única que nos sobra é:  

θ = π / 2

Resposta

Letra e