Considere os seguintes pontos no espaço tridimensional:
a) Encontre a área do triângulo com vértices A, B e C.
b) Mostre que o triângulo ABC é um triângulo retângulo, com ângulo reto A.
c) Mostre que os pontos A, B, C E D são coplanatres, ou seja, pertecem ao mesmo plano.
Passo 1
a) Para calcular a área de um triângulo formado com dois vetores temos uma formulinha que ajuda muito nossa vida!
Aonde o vetor formado entre os pontos A e B e o vetor formado entre os os pontos A e C.
Descobrindo o vetor fazemos a diferença entre os pontos.
Agora o vetor
Passo 2
Bom, resolvendo então o produto vetorial da fórmula da área temos:
Calculando então o módulo:
Passo 3
b) para provarmos que o triângulo tem ângulo reto em A, vamos calular o ângulo entre os vetores . Para isso usamos a formulinha:
Opa, com isso provamos que o Ângulo no ponto A realmente é reto.
Passo 4
c) para provarmos se os pontos são coplanares, temos também, pra nossa sorte, uma formulinha, hahaha. Se 4 pontos pertencem ao mesmo plano, temos 3 vetores formados por eles também pertencentes ao mesmo plano. São eles os vetores que ligam o ponto A a todos os outros pontos, ou seja, que já conhecemos, e agora .
Vamos então descobrir quem é esse vetor.
Bom, para sabermos então se os pontos pertencem ao mesmo plano, precisamos que a igualdade seja real. Caso esse produto misto seja diferente de zero, sabemos que esses vetores (consequentemente os 4 pontos) não pertencem ao mesmo plano.
Já temos o resultado do produto vetorial que é . Agora fazemos o produto escalar.
Oba! Sabemos então que os pontos são coplanares