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Exercícios Resolvidos de Produto Escalar

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Exercício 12345678910

Enunciado

Suponha v → t ≠ 0 para todo t . Faça T → = v → t v t onde v t = v → t . Prove que T → e d T → d t são ortogonais.

Passo 1

Vamos com calma.

Primeiro vamos fazer

v → t = ( x t , y t )

v t = v → t = x t 2 + y t 2

Até ai tranquilo, né?

Passo 2

Agora vamos substituir isso em T → = v → t v t :

T → = x t v ( t ) , y t v ( t )

Então,

d T → d t = d d t x t v t , d d t y t v t

d T → d t = x ' t . v t - x t . v ' t v t 2 , y ' t . v t - y t . v ' t v t 2

Passo 3

Antes de continuarmos, vamos calcular a seguinte derivada:

d v ( t ) d t = v ' t = x t . x ' t x t 2 + y t 2 + y t . y ' t x t 2 + y t 2 = x t . x ' t + y t . y ' t v t

Beleza, já definimos os vetores e a derivada v ' t . Agora vamos para o que interessa: provar que eles são ortogonais.

Sabemos que dois vetores ortogonais tem produto escalar nulo, então vamos ver se isso acontece aqui:

T → ∙ d T → d t = x t v t , y t v t ∙ x ' t . v t - x t . v ' t v t 2 , y ' t . v t - y t . v ' t v t 2

T → ∙ d T → d t = x t . x ' t . v t - x t 2 . v ' t v t 3 + y t . y ' t . v t - ( y t ) ² . v ' t v t 3

T → ∙ d T → d t = 1 v t 3 v t x t . x ' t + y t . y ' t - v ' t ⏟ x t . x ' t + y t . y ' t v t x t 2 + y t 2 ⏟ v 2 t

T → ∙ d T → d t = 1 v t 3 v t x t . x ' t + y t . y ' t - x t . x ' t + y t . y ' t v t

∴

T → ∙ d T → d t = 1 v t 3 ∙ 0 = 0

Resposta

T → ∙ d T → d t = 1 v t 3 v t x t . x ' t + y t . y ' t - x t . x ' t + y t . y ' t v t = 0