Sejam , . A parametrização
descreve uma hélice. O ângulo entre qualquer reta tangente à hélice e o eixo é constante. Qual o valor de ?
Passo 1
Vamos começar achando o vetor diretor da reta tangente à hélice.
Então a gente tem uma curva e quer achar um vetor tangente a essa curva. Como que faz isso mesmo??
A gente simplesmente deriva a parametrização da curva
Vamos lá.
E pronto, temos nosso vetor diretor da reta tangente.
Passo 2
Agora a questão nos diz que esse vetor forma sempre um ângulo constante com o eixo .
Beleza, mas se pra reta tangente a gente teve que achar um vetor diretor, pra podermos relacionar isso com o eixo , vamos precisar de um vetor diretor do eixo também.
Ah, mas vetor diretor de eixo cartesiano é mais tranquilo né?
O vetor que ta na mesma direção do eixo é o vetor
Passo 3
Agora temos dois vetores e queremos saber o cosseno do ângulo entre eles: vamos usar o produto escalar.
O produto escalar pode ser calculado como:
Assim,
Temos e temos , então é só calcular o produto escalar do numerador e o módulo desses vetores pro denominador.
Passo 4
Vamos começar pelo numerador:
Passo 5
Agora calculando os módulos de cada vetor:
Colocando em evidencia:
Colocando em evidencia:
Podemos tirar esse da raiz e, teoricamente, ele sairia como , mas como a questão diz pra gente que :
Passo 6
Substituindo tudo na fórmula do passo 3:
Fim!