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Enunciado

Química - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 10.Exercícios - Ex. 5b

Calcule a energia cinética média e a energia potencial média de um elétron num orbital 2s de átomo hidrogenóide com o número atômico Z.

Passo 1

E aí, gente!!! Bora lembrar de novo nossos conceitos e definições de energia cinética na quântica?

< Ê K >   = ∫ ψ * Ê K ψ   d τ

Onde temos que ψ = N 2 - ρ e - ρ 2 , com N = 1 4 Z 3 2 π a 0 3 1 2   e ρ ≡ Z r / a 0

Aqui temos então que fazer de tal forma como:

Ê K = - ℏ 2 2 m ∇ 2

d τ = r 2 s e n θ   d r   d θ   d ϕ = a 0 3 ρ 2 s e n θ   d ρ   d θ   d ϕ Z 3

Passo 2

Em coordenadas esféricas, três das derivações em ∇ 2 são derivadas com seus respectivos ângulos, portanto essas partes de ∇ 2 ψ desaparecem, olha como fica:

∇ 2 ψ = ∂ 2 ψ ∂ r 2 + 2 r ∂ ψ ∂ r = ∂ 2 ψ ∂ ρ 2 ∂ ρ ∂ r 2 2 + 2 Z ρ a 0 ∂ ψ ∂ ρ ∂ ρ ∂ r

∇ 2 ψ = Z a 0 2 × ∂ 2 ψ ∂ ρ + 2 ρ ∂ ψ ∂ ρ

∂ ρ ∂ r = N 2 - ρ × - 1 2 e - ρ 2 - N e - ρ 2 = N 1 2 ρ - 2 e - ρ 2

∂ 2 ψ ∂ ρ 2 = N 1 2 ρ - 2 × - 1 2 e - ρ 2 + 1 2 N e - ρ 2 = N 3 2 - 1 4 ρ e - ρ 2

∇ 2 ψ = Z a 0 2 N e - ρ 2 - 4 ρ + 5 2 - ρ 4

Passo 3

Agora vamos olhar pra nossa energia cinética média de novo, beleza?

< Ê K >   = ∫ 0 ∞ ∫ 0 π ∫ 0 2 π N 2 - ρ e - ρ 2 Z a 0 2 × - ℏ 2 2 m × N e - ρ 2 - 4 ρ + 5 2 - ρ 4 a 0 3 ρ 2 s e n θ   d ρ   d θ   d ϕ Z 3

A nossa função não depende do ângulo, e, portanto, vemos que ele nos dará um fator de 4 π , ou seja, temos:

< Ê K >   = 4 π N 2 a 0 Z × - ℏ 2 2 m ∫ 0 ∞ 2 - ρ × - 4 ρ + 5 2 - ρ 4 ρ e - ρ d ρ

< Ê K >   = ℏ 2 Z 2 8 m a 0  

Passo 4

Agora vamos olhar pra nossa energia potencial média de novo, beleza?

< V >   =   ∫ ψ * V ψ   d τ

Onde V = - Z e 2 4 π ϵ 0 r = - Z 2 e 2 4 π ϵ 0 a 0 ρ

Portanto, temos que:

< V >   = ∫ 0 ∞ ∫ 0 π ∫ 0 2 π N 2 - ρ e - ρ 2 - Z 2 e 2 4 π ϵ 0 a 0 ρ × N 2 - ρ e - ρ 2 a 0 3 ρ 2 s e n θ   d ρ   d θ   d ϕ Z 3

A nossa função não depende do ângulo, e, portanto, vemos que ele nos dará um fator de 4 π , ou seja, temos:

< V >   = 4 π N 2 - Z 2 e 2 4 π ϵ 0 a 0 ρ × a 0 3 Z 3 ∫ 0 ∞ 2 - ρ 2 ρ e - ρ d ρ

< V >   = - Z 2 e 2 16 π ϵ 0 a 0

Resposta

< Ê K >   = ℏ 2 Z 2 8 m a 0

< V >   = - Z 2 e 2 16 π ϵ 0 a 0

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