Um exemplo de malhas de controle altamente interativas é o controle de composição do topo e da base em uma coluna de destilação. Dois testes foram efetuados em uma simulação de uma coluna de butano-pentano: um foi a variação no fluxo de vapor mantendo o fluxo de refluxo constante, o outro foi uma variação no fluxo de refluxo mantendo o fluxo de vapor constante. A tabela a seguir resume os fluxos e as composições para cada um dos testes, após o estado estacionário ser estabelecido.
As variáveis controladas são a percentagem de butano na base e nos produtos destilados, e as variáveis manipuladas são os pontos fixos de fluxo de vapor e de fluxo de refluxo. Calcule os ganhos da malha aberta em estado estacionário e os ganhos relativos para os dois emparelhamentos possíveis. A interação é positiva ou negativa? Qual variável deve ser manipulada para controlar a composição do destilado para que a interação entre as duas malhas seja minimizada? Qual é o ganho de estado estacionário para a malha de composição do destilado quando a malha de composição da base está fechada?
Passo 1
Esse exercício pede um monte de coisa da gente, então vamos com bastante calma.
Ele coloca para gente um problema onde temos duas variáveis que desejamos controlar que são as percentagens de butano tanto na base quanto no destilado. Essas variáveis poderão ser controladas através de duas variáveis de entrada, que são o fluxo de vapor no refervedor e o fluxo de refluxo, ou simplesmente, taxa de refluxo.
Para começar simplificando o problema, vamos chamar as saídas de e e as entradas de e . Então teremos a nova tabela abaixo:
Passo 2
Para encontrar tudo que o exercício pede, foram feitos testes. Nesses testes primeiramente foi implementada uma variação em uma entrada, e manteve-se a outra constante. Depois foi feito o mesmo com a entrada que ficou constante no primeiro teste.
Sendo assim, podemos calcular os ganhos em malha aberta dessas malhas. O ganho em malha aberta é referente à variação da saída mediante uma variação em uma entrada quando as outras entradas estão constantes.
Podemos escrever isso matematicamente assim:
Sendo assim, o ganho , que reaciona com , poderá ser encontrado usando o teste 1, porque nesse teste, se manteve constante. Portanto:
Da mesma forma o ganho será:
Os ganhos e podem ser encontrados usando o teste 2 uma vez que eles são os ganhos das saídas e com relação à entrada , portanto, é necessário que esteja mantido constante.
Podemos organizar esses ganhos em uma matriz de ganhos em malha aberta:
Passo 3
Já calculamos a primeira coisa que foi pedida que foram os ganhos em malha aberta. Agora podemos usar esses ganhos para calcular os ganhos relativos para esse sistema. Como se trata de um sistema podemos usar a fórmula abaixo para calcular o ganho :
Sunstituindo os valores encontrados anteriormente, teremos:
A matriz de ganhos relativos, também conhecida como RGA, poderá ser definida completamente conforme abaixo:
Sendo .
Portanto:
Passo 4
Com os ganhos relativos calculados, podemos classificar as malhas como tendo interação positiva ou negativa. Como os ganhos relativos são ou maiores que ou negativos, as malhas são classificadas como tendo interação negativa.
Além disso, podemos definir o melhor emparelhamento. Para isso devemos escolher o par que apresenta o ganho relativo mais próximo de e que não seja negativo. Neste caso o melhor emparelhamento será o 1-1/2-2. Ou seja: emparelhar a percentagem de butano na base com o fluxo de vapor e a percentagem de butano no destilado com o fluxo do refluxo.
Passo 5
Por fim, precisamos calcular o ganho em malha fechada do percentual de butano no destilado com relação a sua entrada, que como vimos é o fluxo de refluxo, . Como já temos o ganho em malha aberta e o ganho relativo, podemos usar a fórmula abaixo para fazer o cálculo:
Resposta
Interação negativa.
Emparelhamento 1-1/2-2