Encontre a equação da reta normal e do plano tangente ao cone no ponto
Passo 1
Essa questão aqui vai dar um pouco mais de trabalho porque vamos ter que encontrar a parametrização do cone, depois que fizermos isso, é só seguir os mesmos passos que estávamos fazendo: encontrar o vetor normal , encontrar a reta normal e o plano tangente.
Vamos começar parametrizando a nossa superfície. Podemos fazer a parametrização explícita, para usar o macete, ou parametrizar de alguma outra forma, isso vai de cada pessoa. Nesse caso, a parametrização explícita já está pronta pra gente, vamos usá-la então:
Passo 2
Vamos encontrar agora o nosso vetor normal, pelo macete, sabemos que:
Vamos calcular então as derivadas de em relação a e a :
Esse é o vetor normal para qualquer ponto, né? Queremos saber o valor desse vetor no ponto dado no enunciado , substituindo e nos termos da normal:
Passo 3
Temos o vetor normal e o ponto , podemos agora achar a parametrização da reta normal! Para isso, vamos substituir os valores nessas fórmulas aqui:
No nosso exercício:
Passo 4
Para encontrarmos a equação do plano tangente, vamos precisar fazer o produto escalar entre o vetor normal e aquele termo lá da teoria, lembra? Isso aqui:
Pronto! Encontramos a reta normal e o plano tangente!