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Exercícios Resolvidos de Reta Normal e Plano Tangente

Ver Teoria
Exercício 2134567

Enunciado

Encontre a equação da reta normal e do plano tangente à superfície parametrizada por φ u , v = ( u , v , u 2 v 2 ) no ponto P 0 = ( 1,2 , 4 )

Passo 1

Equação da reta normal e plano tangente né? Sabemos que precisamos encontrar o vetor normal para poder descobrir o que o enunciado pede, para isso vamos usar aquela fórmula:

N → = ∂ φ ( u , v ) ∂ u × ∂ φ ( u , v ) ∂ v

Ou então usamos aquele macete da parametrização explícita! Isso vai de cada um, nesse primeiro exercício vamos fazer os dois pra deixar claro como é, a partir do próximo vamos escolher o que for mais simples!

Depois que acharmos a normal N → = a , b , c com o P 0 = x 0 , y 0 , z 0 , nossa parametrização da reta normal vai ser:

x t = x 0 + a t

y t = y 0 + b t

z t = z 0 + c t

Em seguida, para calcular a equação do plano, vamos usar o produto escalar da teoria também, se você não lembra é esse aqui:

N → ⋅ x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 = 0

Vamos lá?

Passo 2

Calculando a normal pelo produto vetorial, vamos precisar derivar a superfície em u e v :

∂ φ u , v ∂ u = 1,0 , 2 u v 2

∂ φ ( u , v ) ∂ v = ( 0,1 , 2 u 2 v )

N → = ∂ φ u , v ∂ u × ∂ φ u , v ∂ v

N → = i j k 1 0 2 u v 2 0 1 2 u 2 v i j 1 0 0 1 = 1 k - 2 u v 2 i + 2 u 2 v j = ( - 2 u v 2 , - 2 u 2 v , 1 )

Para calcular a normal pelo macete, usamos essa fórmula aqui, sendo a parametrização explícita em φ x , y = x , y , f x , y :

N → = - ∂ f x , y ∂ x , - ∂ f x , y ∂ y , 1

No nosso caso as variáveis são u e v , mas não faz diferença, podemos usar a mesma fórmula:

f u , v = u 2 v 2

∂ f u , v ∂ u = 2 u v 2

∂ f u , v ∂ v = 2 u 2 v

N → = - 2 u v 2 , - 2 u 2 v , 1

Temos a equação do vetor normal em qualquer ponto, certo? Mas só precisamos do valor dele no ponto P 0 = ( 1,2 , 4 ) . Como x = u e y = v , esse ponto é o ponto em que u = 1 e v = 2 . Assim,

N → = - 2.1 . 2 2 , - 2.1 2 . 2,1 = ( - 8 , - 4,1 )

Passo 3

Tendo o nosso vetor normal, podemos agora encontrar a parametrização da reta normal à superfície. Para isso vamos usar aquele conceito escrito no passo 1.

P 0 = 1,2 , 4

N → = - 8 , - 4,1

x t = 1 - 8 t

y t = 2 - 4 t

z t = 4 + t

r t = 1 - 8 t , 2 - 4 t , 4 + t

Passo 4

Para encontrar a equação do plano, precisamos calcular o produto escalar escrito no primeiro passo:

N → ⋅ x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 = 0

P 0 = 1,2 , 4

N → = - 8 , - 4,1

- 8 , - 4,1 ⋅ x - 1 , y - 2 , z - 4 = 0

- 8 x + 8 + - 4 y + 8 + z - 4 = 0

- 8 x - 4 y + z = - 12

Resposta

R e t a   N o r m a l → r t = 1 - 8 t , 2 - 4 t , 4 + t

P l a n o →   - 8 x - 4 y + z = - 12

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