Encontre a parametrização da reta normal e o plano tangente à superfície parametrizada por no ponto em que e
Passo 1
Parametrização da reta normal e plano tangente, quando lemos isso já tem que vir na nossa cabeça que precisamos encontrar o vetor normal no ponto dado.
Nessa questão a nossa parametrização não é explicita, vamos precisar usar essa fórmula de cima mesmo. Além disso, não temos o ponto , temos o valor dos parâmetros nesse ponto, certo? Não tem problema, só precisamos substituir e na parametrização da superfície!
Então pronto, depois que acharmos e conseguimos calcular a parametrização da reta normal e a equação do plano tangente! Vamos lá?
Passo 2
Vamos começar pelo vetor normal, precisamos derivar a nossa parametrização da superfície em relação aos seus dois parâmetros. Fica assim:
Nosso vetor normal vai ser:
Se não temos termo em , quer dizer que a coordenada do vetor no eixo é igual a zero! Portanto:
Esse é o vetor normal em qualquer ponto, né? Precisamos do valor dele no ponto em que
Substituindo esses valores:
Passo 3
Precisamos encontrar o nosso ponto que o enunciado fala, ele diz que o ponto é definido por:
Mas a nossa parametrização não é exatamente a descrição de todos os pontos da superfície? Então basta substituir os valores dos parâmetros na equação da parametrização:
Passo 4
Tendo o vetor normal e o ponto podemos encontrar o valor da parametrização da reta normal da seguinte forma:
Substituindo nossos valores:
Passo 5
E, para calcular a equação do plano, precisamos do seguinte produto escalar:
Simplificando, dividindo os dois lados por :