Entre a matriz no MATLAB:
Use o comando do MATLAB para encontrar a forma escalonada reduzida de . Qual é a solução do sistema linear representado pela matriz aumentada ?
Passo 1
Este exercício nos dá uma matriz e pede para aplicarmos a função nela, para encontrarmos a sua forma escalonada reduzida.
Em seguida, o exercício pergunta qual é a solução do sistema linear representado pela matriz aumentada .
Mas neste exercício não vai ser fácil encontrar uma solução para o sistema linear. Lembra que uma matriz aumentada é a adição de uma coluna a mais na matriz de coeficientes do sistema linear? Em outras palavras, se o nosso sistema linear está no formato matricial:
Onde é uma matriz com os coeficientes das equações, é o vetor com as incógnitas e é o vetor com os valores numéricos à direita do sinal de igual, que não são multiplicados por nenhuma incógnita.
A matriz aumentada é igual a . No caso da matriz do enunciado, temos que:
Perceba que é uma matriz retangular, com 3 linhas e 4 colunas. Isto quer dizer que ela é matriz de coeficientes de um sistema com 3 equações e 4 incógnitas, logo, se trata de um sistema indeterminado, com infinitas soluções.
Portanto, neste exercício, não teremos uma solução única, mas sim, algumas equações que serão obtidas da saída de que representam as infinitas soluções do sistema linear.
Com o passo a passo, vai ficar mais fácil de entender.
Passo 2
Crie um script novo no MATLAB, entre com a matriz e calcule sua forma escalonada reduzida usando a função :
A forma escalonada reduzida de é armazenada na variável . Ao rodarmos o programa, temos que:
Com isso, respondemos a primeira parte do exercício.
Passo 3
Reparou que a última linha de só tem zeros? Isto indica que há uma dependência linear em . Veja que a segunda e a última coluna de são linearmente dependentes: a segunda coluna, , é igual à última coluna, , multiplicada por .
Além disso, a linha de zeros indica que uma das três equações do sistema não ajudaria em nada a encontrar um valor para as incógnitas. Na prática, trata-se de um sistema de 2 equações com 4 incógnitas.
Vamos supor que se tratasse de um sistema de equações onde quiséssemos encontrar os valores de e . A matriz representa esse sistema após alguma manipulações algébricas. O novo sistema teria esta carinha, seguindo os elementos de :
Este sistema tem infinitas soluções. Elas são definidas quando estabelecemos valores para duas incógnitas e usamos as duas equações acima para encontrar as outras duas. Por exemplo, eu podia dizer que e , e, substituindo nas equações acima:
E eu teria e . Claro, essa seria apenas uma das infinitas soluções.
Resposta
O sistema linear representado pela matriz aumentada tem infinitas soluções.