Exercícios Resolvidos de Superfície Regular e Orientável

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Enunciado

Considere a superfície parametrizada por

φ r , θ = r c o s θ ,   r   s e n θ ,   θ ,   0 ≤ r ≤ 1     e   0 ≤ θ ≤ 4 π

  1. Encontre uma expressão para um vetor normal à superfície
  2. Esta superfície é regular?

Passo 1

a) O vetor normal a uma superfície parametrizada por φ ( r , θ ) é dado por:

N → = ∂ φ ∂ r × ∂ φ ∂ θ

N → = ( cos ⁡ θ , sen ⁡ θ ,   0 ) × ( - r sen ⁡ θ ,   r cos ⁡ θ ,   1 )

Resolvendo o produto vetorial,

N → = i j k cos ⁡ θ sen ⁡ θ 0 - r sen ⁡ θ r cos ⁡ θ 1

N → = ( s e n   θ , - cos ⁡ θ ,   r )

Passo 2

b) Uma superfície é regular se N → for diferente de zero para os valores do domínio da superfície. Como:

0 ≤ r ≤ 1    

0 ≤ θ ≤ 4 π

Não tem N → = 0 , pois não existe valor de θ tal que s e n θ = 0 e c o s θ = 0 ao mesmo tempo. Então, a superfície é regular!

Resposta

(a) N → = ( s e n θ , -   c o s θ ,   r )

(b) A superfície é regular

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Parametrizar as seguintes superfícies, determinando as curvas coordenadas, nos pontos indicados:Cone x 2 + z 2 - y 2 = 0 ; y ≥ 0 ;P 2 ,13 , 3 .
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Seja S uma superfície descrita pela equação r → u . v = ( u . cos ⁡v , 2 u 2 ,u . s e n( v ) ) , onde 0 ≤ u ≤ 2 e 0 ≤ v ≤ 2 π . Determinar os vetores ∂ r → ∂ u P , ∂ r → ∂ v P , ∂ r → ∂ u P × ∂ r → ∂
Seja S uma superfície descrita pela equação r → u . v = ( u . cos ⁡v , 2 u 2 ,u . s e n( v ) ) , onde 0 ≤ u ≤ 2 e 0 ≤ v ≤ 2 π . Representar graficamente a superfície S.
Determinar as curvas coordenadas das superfícies dadas, nos pontos indicados:Parabolóide r → u . v = u , v , u 2 + v 2 ; P 1 ,1 ,2