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Exercícios Resolvidos de Superfície Regular e Orientável

Ver Teoria
Exercício 4123

Enunciado

(8) Seja S a superfície definida pela parametrização φ θ ,   t = t cos ⁡ θ ,   t sin ⁡ θ , sin ⁡ t , 0 < t < π , 0 < θ < 2 π . Um vetor U → normal à superfície S e unitário é dado por:

  1. U → = cos ⁡ t cos ⁡ θ , cos ⁡ t sin ⁡ θ ,   - 1 / ( 2 - sin 2 ⁡ t )  
  2. U → = cos ⁡ t sin ⁡ θ , cos ⁡ t cos ⁡ θ ,   - 1 / ( 2 - sin 2 ⁡ t )  
  3. U → = sin ⁡ t cos ⁡ θ , sin ⁡ t sin ⁡ θ ,   - 1 / ( 2 - cos 2 ⁡ t )  
  4. U → = sin ⁡ t sin ⁡ θ , sin ⁡ t cos ⁡ θ ,   - 1 / ( 2 - cos 2 ⁡ t )  
  5. U → = cos ⁡ t cos ⁡ θ , cos ⁡ t sin ⁡ θ ,   - t / ( 2 - sin 2 ⁡ t )  

Passo 1

Bem para calcular o vetor normal unitário U → a uma superfície, fazemos:

U → = N → N →

Onde N → é o vetor normal grandão e pode ser encontrado:

N → = ∂ φ ∂ θ × ∂ φ ∂ t

Bora calcula-lo?

Passo 2

Como φ θ ,   t = t cos ⁡ θ ,   t sin ⁡ θ , sin ⁡ t , podemos calcular essas derivadas parciais:

∂ φ ∂ θ = - t sin ⁡ θ ,   t cos ⁡ θ , 0

∂ φ ∂ t = cos ⁡ θ ,   sin ⁡ θ , cos ⁡ t

Um produto vetorial é dado pelo determinando dos vetores calculados...

N → = ∂ σ ∂ φ × ∂ σ ∂ θ

N → = i → j → k → - t sin ⁡ θ t cos ⁡ θ 0 cos ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ t

Com paciência, resolvendo esse determinante 3 × 3 ...

N → = t cos ⁡ θ cos ⁡ t i → - t sin 2 ⁡ θ k → - - t sin ⁡ θ cos ⁡ t j → + t cos 2 ⁡ θ k →

N → = t cos ⁡ θ cos ⁡ t i → + t sin ⁡ θ cos ⁡ t j → - t sin 2 ⁡ θ k → - t cos 2 ⁡ θ k →

Colocando a parte do k → em evidência...

N → = t cos ⁡ θ cos ⁡ t i → + t sin ⁡ θ cos ⁡ t j → - t sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ k →

Como sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1 ...

N → = t cos ⁡ θ cos ⁡ t i → + t sin ⁡ θ cos ⁡ t j → - t k →

Logo, o vetor normal N → que encontramos foi:

N → = t cos ⁡ θ cos ⁡ t ,   t sin ⁡ θ cos ⁡ t ,   - t

Passo 3

Enquanto o seu módulo é...

N → = t cos ⁡ θ cos ⁡ t 2 + t sin ⁡ θ cos ⁡ t 2 + - t 2

N → = t 2 cos 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ t + t sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ t + t 2

N → = t 2 cos 2 ⁡ t cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ + t 2

N → = t 2 cos 2 ⁡ t + t 2 →

N → = t 2 cos 2 ⁡ t + 1 →

N → = t cos 2 ⁡ t + 1

cos 2 ⁡ t = 1 - sin 2 ⁡ t ...

N → = t 2 - sin 2 ⁡ t

Passo 4

O unitário, portanto, será...

U → = N → N →

U → = t cos ⁡ θ cos ⁡ t ,   t sin ⁡ θ cos ⁡ t ,   - t t 2 - sin 2 ⁡ t

Cortando um t em cada entrada com esse t de fora...

U → = cos ⁡ θ cos ⁡ t ,   sin ⁡ θ cos ⁡ t ,   - 1 2 - sin 2 ⁡ t

Resposta

a )     U → = cos ⁡ t cos ⁡ θ , cos ⁡ t sin ⁡ θ ,   - 1 / ( 2 - sin 2 ⁡ t )  

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