Gere 128 pontos para o seguinte sinal:

Plote o sinal no domínio do tempo. Usando o método da transformada de Fourier e gere e plote o sinal no domínio da freqüência. Use a escala de no eixo X. Assuma a taxa de amostragem de . Verifique se os picos ocorrem onde era esperado para o domínio da freqüência.

Primeiramente, vamos entrar no MATLAB as informações fornecidas pelo enunciado, que foram listadas logo acima, no passo 1. Em um script novo, digite:

O número de pontos é armazenado na variável ; a frequência de amostragem na variável ; o período é calculado e armazenado na variável ; e a amplitude da onda cossenoidal é armazenada na variável .

Para fazermos a primeira coisa que o exercício pede – plotar o sinal no domínio do tempo – devemos criar um vetor representando o domínio do tempo a partir o comando:

Neste comando, cria-se primeiro um vetor que vai de a , com passo de (). Este vetor tem elementos, correspondendo aos pontos pedidos pelo enunciado. Em seguida, esse vetor é multiplicado por , que é o período, em segundos, da onda senoidal.

Vamos acrescentar esse comando para calcular o vetor no MATLAB e aproveitar e já gerar o sinal no domínio do tempo:

Tendo os vetores e , podemos plotar o sinal da onda cossenoidal no domínio do tempo, por meio dos comandos:

Na primeira linha, pedimos ao MATLAB para gerar uma figura com o comando , para termos o gráfico no domínio do tempo em uma janela diferente do gráfico no domínio da frequência (que também foi pedido no exercício e que geraremos mais pra frente, no mesmo script).

Em seguida, com o comando o gráfico do sinal no domínio do tempo é gerado.

Indicamos que o eixo horizontal do gráfico é o domínio do tempo por meio do comando . Temos no eixo vertical do gráfico os valores da onda cossenoidal, indicado por .

Vamos ver a carinha do sinal no domínio do tempo? Rodando o programa que escrevemos até agora, temos este gráfico:

Tcharam! Primeiro ponto pedido pelo exercício resolvido.

A segunda coisa que o exercício pede é usarmos a transformada de Fourier no sinal para obtermos a onda cossenoidal no domínio da frequência. Para isto, usaremos a função do MATLAB, incluindo a seguinte linha de código em nosso script:

Para calcular a transformada de Fourier, a função tem como entrada o vetor , que contém números reais representando o sinal no domínio do tempo. Já a saída é um vetor com números complexos: é a conversão de no domínio do tempo para o domínio da frequência. Os vetores e têm a mesma quantidade de elementos.

Pronto! Segundo pedido do exercício atendido ;D

Tendo executado o segundo item pedido pelo exercício, partimos para a terceira coisa que ele nos pede para fazer: plotar o sinal no domínio da frequência. Quando plotamos um sinal no domínio da frequência, normalmente temos no eixo Y do gráfico a magnitude do sinal obtido pela função . Para calcular a magnitude, usamos a função do MATLAB. Digite no MATLAB a linha de código:

Com esta linha, calculamos a magnitude de cada elemento do vetor usando a função do MATLAB. Quando a entrada da função é um número complexo, ela calcula sua magnitude.

Agora precisamos criar o eixo horizontal, representando o domínio da frequência. Para isto, digite os comandos:

Na primeira linha, calculamos o , que é o passo do domínio da frequência: ele começa em e as frequências seguintes são obtidas pela soma de à frequência anterior. O é calculado dividindo a frequência de amostragem pelo número de pontos e é armazenado na variável .

Na segunda linha, geramos o domínio da frequência, representado pelo vetor . A lógica da sua criação é igualzinha à lógica que usamos para criar o vetor , do domínio do tempo.

Primeiramente, cria-se um vetor que vai de a , com passo de (). Este vetor tem elementos, correspondendo aos pontos exigidos pelo enunciado. Em seguida, esse vetor é multiplicado por . Desta forma, é criado o domínio da frequência, que vai de a

Após criar o domínio da frequência, vamos usar novamente a função para gerar o gráfico da magnitude da onda cossenoidal no domínio da frequência:

Na primeira linha, pedimos ao MATLAB para gerar uma segunda figura com o comando , para termos o gráfico no domínio da frequência em uma janela diferente do gráfico no domínio do tempo.

Em seguida, o gráfico da magnitude de no domínio da frequência é criado com o comando Repare que, para plotar, usamos somente a primeira metade dos vetores com elementos e . Isso é indicado pela adição de à direita do nome do vetor, que diz ao MATLAB que queremos pegar do primeiro elemento ao elemento do vetor.

Usamos somente a primeira metade dos vetores e porque, no domínio da frequência, a partir de , as magnitudes começam a se repetir e não precisamos pôr elas no gráfico para encontrar o que o exercício pede.

Indicamos que o eixo horizontal do gráfico é o domínio da frequência por meio do comando . Temos no eixo vertical do gráfico a magnitude de , indicado por .

Vamos ver como o sinal ficou no domínio da frequência? Ao rodar o programa, temos o seguinte gráfico:

Terceiro item do exercício feito ;) Bora encerrar respondendo à última coisa pedida pelo exercício.

A última coisa que o exercício pede para fazermos é verificar se os picos do sinal ocorrem onde era esperado no domínio da frequência. Para vermos isso, devemos olhar o gráfico do sinal no domínio da frequência e ver se o pico ocorre na mesma frequência do sinal, que é aproximadamente .

“Ué, mas o gráfico tem dois picos”, você deve ter reparado. Vamos ver as coordenadas dos dois, clicando neles no gráfico:

Vamos analisar primeiro o pico mais à direita, que ocorre a uma frequência de , muito próxima dos da função cosseno do sinal . Logo, este pico ocorre onde era esperado.

Se quiser, faça alguns testes aumentando o , você verá que a frequência onde ocorre o pico mais à direita ficará mais próxima de .

Você deve estar estranhando o primeiro pico, que ocorre a uma frequência de . Vamos rever o sinal :

Podemos reescrever o sinal da seguinte forma:

A constante do sinal pode ser interpretada como uma onda cossenoidal de frequência . Como o sinal é composto de duas ondas cossenoidais, há dois picos em no domínio da frequência, cada um ocorrendo na frequência de cada onda. Como uma das duas ondas tem frequência de , há um pico em . Legal, né?

Portanto, os picos no domínio da frequência ocorrem onde eram esperados.