Use a transformada de Laplace para resolver o problema:
Onde é a função degrau unitário e , .
Passo 1
O exercício pede para encontrarmos a solução de uma equação diferencial de segunda ordem, usando transformada de Laplace. Primeiramente, aplicaremos a função do MATLAB na equação diferencial para encontrarmos a transformada de .
Consideraremos que é em função de , pois a função degrau dada no enunciado é apresentada como .
Como o enunciado não especificou nada, consideraremos que a variável independente das transformadas de Laplace é , que é o padrão do MATLAB. Logo, a transformada de Laplace de será .
Após encontrarmos , vamos aplicar para encontrar a inversa da transformada, isto é, , que é a solução da equação diferencial.
Passo 2
Vamos começar entrando com a equação diferencial no MATLAB, termo a termo. Em um script novo, digite as linhas de código:
Na primeira linha, criamos a variável simbólicas , indicamos que é em função de .
Na segunda linha, calculamos a derivada usando a função do MATLAB. Como estamos trabalhando com variáveis simbólicas, calcula a derivada de em relação a e armazena a resposta em . Como a função não é conhecida, se pedirmos ao MATLAB para nos mostrar , ele indicará:
Na terceira linha, calculamos a derivada , pedindo ao MATLAB para calcular a derivada de em função de ().
Na quarta linha, criamos um degrau unitário em função de usando a função .
Na quinta linha, calculamos a primeira derivada do degrau unitário usando . A derivada é armazenada em .
Tendo definido os termos da equação, vamos criá-la e armazená-la na variável :
Perceba que joguei os termos e para o lado esquerdo da equação e fiz que tudo é igual a .
Passo 3
Com a equação diferencial no MATLAB, podemos usar a função para calcular a transformada de Laplace dela. Lembrando que tem como estrutura:
Ela retorna a transformada de Laplace da função , armazenando-a na variável . Quando não tem mais nenhuma entrada em além de , o MATLAB assume que a variável independente de é e fará que a transformada de Laplace seja em função de .
Acrescente em seu programa o comando abaixo para calcular a transformada de Laplace de :
O resultado é armazenado em .
Vamos ver como ficou ? Rodando o programa que fizemos até agora, temos:
Nossa, ficou bem grandinho, né? Pra caber na página, tive que deixar a letra beeeem pequeninha.
Vamos resolver isso fazendo umas substituições. Perceba que o MATLAB usa em alguns elementos de , que tem exatamente a mesma estrutura da função . Essa expressão representa a transformada de Laplace de e pode ser substituída por . No caso, chamaremos só de .
Adicione os comandos abaixo em seu programa para fazer a substituição:
Primeiramente, devemos criar mais duas variáveis simbolicas: e . Em seguida, usamos a função para pedir ao MATLAB que substitua em a expressão por . O resultado da substituição é armazenado em , ficando no lugar aquela expressão comprida que vimos.
Após a susbtituição, fica assim:
Ainda tem mais coisa pra substituir aí. O enunciado disse para considerarmos e . O é fácil de achar ali em cima, mas e o ? Ele é representado por .
Para fazer as substituições, adicione ao seu programa as duas linhas de código:
Na primeira linha, substituímos por em e armazenamos a nova expressão novamente em , no lugar daquele mais comprido.
Na segunda linha, substituímos por , isto é, fazemos que , no gerado na linha anterior. A nova expressão é armazenada em , no lugar da anterior.
Executando o programa, podemos ver como está agora:
Bem mais bonitinha, né?
Passo 4
Para encontrar , precisamos encontrar para daí aplicar nela , para termos a inversa da tranformada de Laplace. Em , a variável representa e podemos usar a função do MATLAB para encontrá-la. Adicione em seu código:
Com este comando, a função resolve a equação para a variável e armazena a solução em , atualizando seu valor. Na prática, isolamos na equação com este comando e passa a representar a expressão algébrica de . Rodando o programa, temos que é igual a:
Quer dizer que:
Para encontrarmos , demos aplicar a inversa da transformada de Laplace em , isto é, usar a função do MATLAB em . A função tem a estrutura:
Ela retorna a inversa da transformada de Laplace de , armazenando-a na variável . Quando não tem mais nenhuma entrada em além de , o MATLAB assume que a variável independente de é e fará que a inversa da transformada de Laplace seja em função de .
Para encontrar , entre o comando:
Com este comando, o MATLAB calcula a inversa da transformada de Laplace de e armazena o resultado em , atualizando seu valor. é a solução da equação diferencial.
Rodando o programa, temos que é igual a:
Podemos transformar as frações, como , em números decimais, usando o comando do MATLAB. Este elemento avalia cada elemento de uma expressão simbólica e identifica as frações com números reais, e as transforma em números “quebrados”.
Acrescente no seu código o comando:
Este comando aplica a função em e armazena o resultado em , substituindo a expressão anterior. Ao rodar programa, podemos ver com seus coeficientes transformados em números decimais:
