Diagonalização de Operadores Complexos

Produzido por Bruno Pestana
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Teoria

Fala aí! Bora conversar sobre a Diagonalização de Operadores Complexos?

Como Diagonalizar Operadores Complexos?

Quando a gente tem uma transformação que vai de um espaço complexo para um espaço complexo temos um operador linear! Mas como diagonalizar nesse caso?!

O procedimento aqui é bem semelhante com a diagonalização de números reais! Vamos escrever:

Onde é a matriz que representa a transformação linear no espaço complexo, é a matriz que tem os autovetores nas colunas e é a matriz diagonal que tem os autovalores na diagonal principal.

Pra achar os autovalores fazemos:

E para achar os autovetores:


Para que operadores sejam diagonalizáveis a gente precisamos que a multiplicidade geométrica de cada autovalor seja igual a sua multiplicidade algébrica. Ou seja, se estamos em um espaço de dimensão , teremos:


Beleza, mas isso tudo tá muito abstrato! Bora assistir um vídeozinho pra ficar mais claro?! 👇

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Operadores Especiais

Agora pessoal, a gente vai falar sobre uns operadores complexos importantes. São aqueles que tem uma base na qual sua matriz só tem números reais, ou seja:

Isso significa que, se você achar uma , tal que não tem nenhum , é desse operador que a gente tá falando! E o que tem de especial nesse operador?


Se é um autovalor de e um autovetor associado temos:


Veja que o não muda porque ela é uma matriz real! Isso quer dizer que elas são equivalentes:

  • é um autovalor de com multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica e é um autovetor associado,
  • é um autovalor de com multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica e é um autovetor associado.

Agora vamos praticar com exercícios?!

Operadores Especiais

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