Introdução aos Espaços Complexos

Acabou. Fácil né hahaha. Chamamos então de unidade imaginária e seguimos com a vida.

Um número complexo é então qualquer coisa que pode ser escrita como , com . O conjunto dos números complexos é então formado por todos os números desse tipo. Alguns exemplos de complexos são:

Sim!! Os números reais também são números complexos, é só jogar . Pra fixar: . Veja também que pra dois números complexos serem iguais devemos ter:

Ou seja, as partes reais e imaginárias são separadas. Pra dois complexos serem iguais, as suas partes têm que ser iguais separadamente também.

Pra gente somar complexos a gente faz assim:

E pra multiplicar:

E como :

Alguns exemplos:

Pra terminar, vamos definir o número conjugado de um complexo :

Por exemplo, o conjugado de é . Com isso a gente já consegue fazer contas com os complexos

Espaços complexos

E agora, o que são os espaços complexos?

Bem, os espaços complexos são espaços vetoriais nos quais, invés de fazermos contas usando somente números reais, usamos números complexos. Óbvio né? Usando essa definição, quase tudo que a gente estudou pros espaços reais também vale pros complexos, subespaços, bases, transformações e por aí vai.

Por exemplo, podemos definir um operador sobre o espaço complexo como:

Lembrando que operador é apenas uma transformação linear que tem o domínio igual ao conta-domínio.

A matriz dessa transformação na base canônica de , , fica:

Igualzinho a gente sempre fez.

Obs: Podemos considerar como um espaço real também. Aí a base canônica de vai ser . Com essa consideração, qualquer que seja o operador , sua matriz só poderá ter valores reais. Em geral, se um espaço é de dimensão , sobre , ele será de dimensão sobre .

Uma diferença dos espaços reais pros complexos é a definição de produto interno.

Se a definição fosse a mesma, teríamos um problema por exemplo com o produto interno canônico em :

Que vai contra o axioma:

Então, pra consertar esses problemas, no caso complexo, o axioma da simetria:

Fica um pouco diferente:

Observe que esse axioma engloba o antigo já que se é real temos . O produto interno canônico no é então:

Por exemplo, o produto interno de e é:

Outra coisa que é diferente nos espaços complexos é o Teorema Espectral, mas não vem ao caso descobrirmos como fica ele, só se lembre de não usá-lo se aparecerem os na questão beleza.

Se liga agora nos exercícios pra gente praticar um pouquinho a fazer contas com os complexos.